Variations de f et fonction auxiliaire, signe de g et TVI (réf 1102) Chapitre 4 fonction ln, Séquence 2 Dérivée et variations, TERMINALE SPÉCIALITÉ MATHS

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Variations de f et fonction auxiliaire, signe de g et TVI (réf 1102)

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Contenu

Étude des variations d’une fonction avec ln(x)

Théorème des valeurs intermédiaires

Signe de la fonction auxiliaire

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Variations et convexité d’une fonction avec ln(x) (réf 1100)
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Variations d’une fonction avec ln(x) (réf 1101)
exercice

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Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=aln(x)+bx+c$ avec $a$, $b$ et $c$ trois réels et on note $\mathcal{C}$ sa rprésentation graphique dans un repère orthonormal.
$d$ est la tangenet à la courbe au point $A$ d'abscisse $1$.
nombre déivé et tangente

Par lecture graphique, déterminer $f(1)$, $f'(1)$ et $f(2)$.

Rappel cours

$f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$

Solution

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Déterminer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$ et en déduire les valeurs des réels $a$, $b$ et $c$.

Rappel cours

Dérivée de la fonction ln
La fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$

Aide

Utiliser les valeurs de la question 1 pour écrire trois équations avec $a$ , $b$ et $c$

Solution

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$g$ est définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x)=2ln(x)-x+1$
Étudier les variations de $g$ (on ne demande pas les limites)

Solution

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Montrer que $1$ est solution de $g(x)=0$ et que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $[2;+\infty[$ dont on donnera une valeur arrondie aux dixièmes.

Rappel cours

Théorème des valeurs intermédiaires
$f$ est une fonction continue sur $[a;b]$ (avec $a Si $k$ est un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ alors il existe au moins un réel $c\in [a;b]$ tel que $f(c)=k$.
Cas où la fonction est monotone
Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et strictement monotone alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution.
$f$ strictement monotone signifie que $f$ est strictement croissante (ou strictement décroissante).

Aide

On utilise le théorème des valeurs intermédiaires sur $[2;+\infty[$ en utilisant pas exemple $g(2)$ et $g(4)$

Solution

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En déduire le signe de $g(x)$

Aide

On a $g(1)=g(\alpha)=0$

Solution

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En déduire les solutions de l'inéquation $f(x)\geq 3$

Aide

$f(x)\geq 3 \Longleftrightarrow g(x) \geq 0$

Solution

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