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Contenu
PGCD
Théorème de Bezout
Théorème de Gauss et résolution d’une équation dans ZxZ
Ressources associées et exercices semblables
Vidéo de l’exercice
- Déterminer PGCD$(8,12)$
Aide
On peut effctuer les divisions euclidiennes successives de l'algorithme d'Euclide
Solution
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INSCRIPTION - En déduire que l'équation $E$ admet au moins une solution
Rappel cours
corollaire du théorème de Bezout
L'équation $ax+by=c$ admet des solutions entières si et seulement si $c$ est un multiple de PGCD$(a,b)$Solution
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INSCRIPTION- Déterminer un couple d'entiers $x$ et $y$ solution de $E$
Rappel cours
Théorème de Gauss
Soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers relatifs non nuls.
Si $a$ divise $bc$ et PGCD$(a,b)=1$ alors $a$ divise $c$.Aide
On peut diviser les coefficients par PGCD$(8,12)$
Solution
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INSCRIPTION- En déduire toutes les solutions de $E$
Rappel cours
Méthode résolution équation Diophantienne
- Chercher le PGCD$(a,b)=d$ et vérifier que $d$ divise $c$
- diviser tous les coefficients de l'équation par $d$
- On doit alors résoudre $a'x+b'y=c'$ (équation $E'$) avec $a'$ et $b'$ premiers entre eux
- Déterminer une solution particulière de l'équation $E'$ notée $(x_0;y_0)$
- On a alors:
$a'x+b'y=a'x_0+b'y_0\Longleftrightarrow a'(x-x_0)=-b'(y-y_0)$
avec $a'$ et $b'$ premiers entre eux. donc $a'$ divise $y-y_0$ d'après le théorème de Gauss
et donc $y=a'k+y_0$ avec $k\in \mathbb{Z}$
et on remplace $y$ par $a'k+y_0$ dans $E'$Aide
On a $2x+3y=-2\times 3+4\times 3$
Solution
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INSCRIPTION - Déterminer un couple d'entiers $x$ et $y$ solution de $E$