Variations d'une suite
Soit $(u_n)$ une suite numérique.
$(u_n)$ est croissante (resp. décroissante) à partir du rang $p$ si pour tout entier $n\geq p$, on a $u_{n+1}>u_n$ (resp. $u_{n+1} $(u_n)$ est monotone si elle est toujours croissante ou toujours décroissante.
$(u_n)$ est stationnaire à partir du rang $p$ si pour tout entier $n\geq p$, on a $u_{n+1}=u_n$ (on a donc $u_n=u_p$ pour tout $n>p$) . Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)
Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
Étudier le signe de l'expression obtenue
Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.

Il faut exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $n$ puis calculer $u_{n+1}-u_n$.

$u_n=3n+5$
donc $u_{n+1}=3(n+1)+5=3n+8$
$u_{n+1}-u_n=(3n+8)-(3n+5)=3n+8-3n-5=3$
donc pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n>0$ (soit $u_{n+1}>u_n$)
La suite $(u_n)$ est donc strictement croissante.

Remarque
On peut aussi étudier les variations de la fonction associée $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=3x+5$ et on a alors $u_n=f(n)$ pour tout entier naturel $n$
$f$ est affine et le coefficient de $x$ est strictement positif donc $f$ est strictement croissante
et donc $(u_n)$ est strictement croissante.

Il faut exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $n$ puis calculer $u_{n+1}-u_n$.

$u_n=n^2+3n-1$ donc $u_{n+1}=(n+1)^2+3(n+1)-1$
$u_{n+1}=(n+1)^2+3(n+1)-1$
$\phantom{u_{n+1}}=n^2+2n+1+3n+3-1$
$\phantom{u_{n+1}}=n^2+5n+3$

$u_{n+1}-u_n=n^2+5n+3-(n^2+3n-1)$
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=n^2+5n+3-n^2-3n+1$
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=2n+4$
$n$ est un entier naturel donc $2n+4 > 0$ et $u_{n+1}-u_n > 0$
donc $(u_n)$ est strictement croissante.
On peut aussi utiliser la fonction $f$ associée définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=x^2+3x-1$.
On a alors $f'(x)=2x+3$ et $x\geq 0$ donc $f'(x) > 0$
et $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$
donc $(u_n)$ est strictement croissante.

Il faut exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $n$ puis calculer $u_{n+1}-u_n$.
Il faut factoriser en utilisant $2^{n+1}=2^n\times 2$.

$u_ {n+1}=3^{n+1}-1$
$u_{n+1}-u_n=3^{n+1}-1-(3^n-1)$
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=3^{n+1}-1-3^n+1$
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=3^{n+1}-3^n$
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=3^n\times 3-3^n$
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=3^n(3-1)$
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=3^n\times 2$
$3^n > 0$ donc $u_{n+1}-u_n >0$
donc la suite $(u_n)$ est strictement croissante.