Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)
Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
Étudier le signe de l'expression obtenue
Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante. Variations suite sous forme explicite
Si $(u_n)$ est définie sous forme explicite, on peut étudier les variations de la fonction associée $f$ telle que $u_n=f(n)$ définie sur $[0;+\infty[$.
On pose $f$ définie pour $x\geq 0$ telle que $u_n=f(n)$
On étudie les variations de la fonction $f$
Si $f$ est croissante alors$(u_n)$ est croissante.
Si $f$ est décroissante alors$(u_n)$ est décroissante.

On peut étudier le signe de la dérivée de $f$ définie sur $[0;+\infty[$ telle que $u_n=f(n)$.
On peut aussi étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$

On pose $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x+1}{x+2}$ (si le chapitre dérivation a été traité)
On a alors $u_n=f(n)=\dfrac{n+1}{n+2}$ et $f$ est la fonction associée à la suite $(u_n)$.
$f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ (quotient de fonctions dérivables).
On pose $u(x)=x+1 $ et $v(x)=x+2 $
et on a $u'(x)= 1 $ et $v'(x)= 1 $
$f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$

$\phantom{f'(x)}=\dfrac{x+2-(x+1)}{( x+2 )^2}$

$\phantom{f'(x)}=\dfrac{x+2-x-1}{( x+2 )^2}$

$\phantom{f'(x)}=\dfrac{1}{( x+2 )^2}$

$(x+2)^2 > 0$ donc $f'(x) >0$

donc $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$

donc $(u_n)$ est strictement croissante.

Remarque
En étudiant le signe de $u_{n+1}-u_n$, on a:
$u_{n+1}=\dfrac{(n+1)+1}{(n+1)+2}=\dfrac{n+2}{n+3}$

$u_{n+1}-u_n=\dfrac{n+2}{n+3}-\dfrac{n+1}{n+2}$

$\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{(n+2)(n+2)}{(n+2)(n+3)}-\dfrac{(n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)}$

$\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{n^2+4n+4}{(n+2)(n+3)}-\dfrac{n^2+n+3n+3}{(n+3)(n+2)}$

$\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{n^2+4n+4-n^2-n-3n-3}{(n+3)(n+2)}$

$\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{1}{(n+3)(n+2)}$

$n\geq 0$ donc $n+3 >0$ et $n+2 >0$ donc $u_{n+1}-u_n >0$
et donc $(u_n)$ est strictement croissante.

Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)
Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
Étudier le signe de l'expression obtenue
Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.

Il faut étudier le signe $u_{n+1}-u_n$ en étudiant le signe du polynôme du second degré $x^2-3x+6$.

$u_{n+1}-u_n=u_n^2-3u_n+6-u_n$
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=u_n^2-4u_n+6$
Il faut étudier le signe de $x^2-4x+6$ $\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\times 1\times 6=16-24=-8$
$\Delta < 0$ donc il n'y a pas de racines
et $x^2-4x+6$ est du signe de $a=1$ coefficient de $x^2$
donc $x^2-4x+6 >0 $ pour tout réel $x$
donc $u_{n+1}-u_n > 0$
donc $(u_n)$ est strictement croissante.

On peut étudier les variations de la fonction associée.

On pose $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=x-\dfrac{1}{x+1}$
On a alors $u_n=f(n)=n-\dfrac{1}{n+1}$ et $f$ est la fonction associée à la suite $(u_n)$.
On pose $v(x)=x+1$ et on a $v'(x)=1$

$f'(x)=1-\dfrac{-v'(x)}{(v(x))^2}$

$\phantom{f'(x)}=1-\dfrac{-1}{(x+1)^2}$

$\phantom{f'(x)}=1+\dfrac{1}{(x+1)^2}$

$(x+1)^2 > 0$ donc $\dfrac{1}{(x+1)^2} > 0$

donc $f'(x) >0$ et $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$

donc $(u_n)$ est strictement croissante.