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Contenu
Justifier qu’un vecteur est normal à un plan
Déterminer une équation d’un plan
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Vidéo de l’exercice
- Montrer que $\overrightarrow{n} \begin{pmatrix}
3\\-2\\1
\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
Rappel cours
Produit scalaire dans un repère orthonormé de l'espace
Dans un repère orthonormé de l'espace, on a les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$Aide
Il faut vérifier que $\overrightarrow{n}$ est orthognal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$
Solution
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=4-2=2\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=5-3=2\\ z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=-1-1=-2 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2\\ 2\\ -2 \end{pmatrix} $
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AC}}=x_C-x_A=3-2=1\\ y_{\overrightarrow{AC}}=y_C-y_A=7-3=4\\ z_{\overrightarrow{AC}}=z_C-z_A=6-1=5 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 1\\ 4\\ 5 \end{pmatrix} $
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n}=2\times 3+2\times (-2)+(-2)\times 1=6-4-2=0$
donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{n}$ sont orthogonaux
et $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{n}=1\times 3+4\times (-2)+5\times 1=3-8+5=0$
donc $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{n}$ sont orthogonaux
donc $\overrightarrow{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de $(ABC)$
- Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
Rappel cours
Vecteur normal à un plan-équation cartésienne d'un plan
Dans l'espace muni d'un repère othonormé, $P$ est un plan de l'espace, un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $P$ est un vecteur directeur d'une droite orthogonale à $P$.
Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $P$ passant par $A$ et $P$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$.
$ax+by+cz+d=0$ est une équation cartésienne de $P$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$Solution
$\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$ donc $a= 3$, $b=-2$ et $c=1$
et une équation cartésienne de $(ABC)$ est de la forme $3x-2y+z+d=0$
$A\in (ABC)\Longleftrightarrow 3x_A-2y_A+z_A+d=0$
$~~~~~~~~\Longleftrightarrow 3\times 2-2\times 3+1+d=0$
$~~~~~~~~\Longleftrightarrow 1+d=0$
$~~~~~~~~\Longleftrightarrow d=-1$
Remarque
On peut contrôler le résultat en utilisant les coordonnées des points $B$ et $C$ qui doivent vérifier l'équation de $P$