Déterminer l'équation réduite de $(AB)$
Dans un repère du plan, si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ avec $x_A\neq x_B$, pour déterminer l'équation réduite de $(AB)$:
- Calcul du coefficient directeur
$a=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
- Calcul de $b$
Le point $A$ appartient à la droite $(AB)$ donc ses coordonnées vérifient $y_A=ax_A+b$ (équation d'inconnue $b$)

calculer $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
calculer $b$ en utilisant les coordonnées de $A$ ou $B$: $y_A=ax_A+b$ (équation d'inconnue $b$)

- Calcul du coefficient directeur
$a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-1-(-5)}{4-2}=\dfrac{4}{2}=2$
- Calcul de l'ordonnée à l'origine
L'équation réduite de $(AB)$ est de la forme $y=2x+b$
$A\in (AB)$ donc $y_A=2x_A+b$
$-5=2\times 2+b\Longleftrightarrow -5=4+b$
$\phantom{2=\dfrac{3}{4}\times (-3)+b}\Longleftrightarrow b=-9$
L'équation réduite de $(AB)$ est $y=2x-9$
- Contrôle graphique du résultat

La droite $(AB)$ coupe l'axe des ordonnées en $b=-9$ et a pour coefficient directeur $a=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x}=\dfrac{+4}{+2}=2$

$x_A=x_C$ donc la droite $(AC)$ n'admet pas d'équation réduite mais une équation de la forme $x=constante$

$x_A=x_C$ donc $(AC)$ n'admet pas d'équation réduite (le coefficient directeur n'existe pas)
$x=2$ est une équation de $(AC)$.