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Contenu
Équation d’une tangente
Recherche d’une distance minimale avec l’étude des variations
Ressources associées et exercices semblables
Recherche d’une aire minimale (réf 0563)
exercice
Recettes, coûts et recherche d’un bénéfice maximal (réf 0565)
exercice
$M$ est un point quelconque de $\mathcal{C}$ et la tangente à $\mathcal{C}$ en $M$ coupe $[BC]$ en $E$ et $[CD]$ en $F$.
On veut déterminer la position du point $M$ afin de rendre la distance $EF$ minimale.
- Construire la figure avec un logiciel de géométrie (GEOGEBRA).
Aide
Construire le carré $ABCD$ puis le quart de cercle $\mathcal{C}$
Placer un point M sur $\mathcal{C}$
Tracer la perpendiculaire à $(AM)$ passant par $M$ puis définir les points $E$ et $F$ comme intersections de cette droite avec $[BC]$ et $[CD]$.
Afficher distance $EF$
En déplaçant le point $M$ sur $\mathcal{C}$, conjecturer la position de $M$ pour que $EF$ soit minimale.Solution
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Infos abonnements - Démonstration de la conjecture émise dans la partie 1
On pose $BE=x$ et $DF=y$ avec $x\in [0;10]$
Montrer que $ME=x$ et que $MF=y$ et en déduire que $EF=x+y$
Aide
Utiliser les triangles rectangles $ABE$ et $AME$ pour montrer que $ME=x$
Utiliser les triangles rectangles $ADF$ et $AMF$ pour montrer que $MF=y$
$EF=EM+MF$ car le point $M$ est sur le segment $[EF]$Solution
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Infos abonnements - En utilisant le triangle $CEF$, montrer que $EF^2=x^2+y^2-20x-20y+200$
Aide
Utiliser le triangle $CEF$ rectangle en $C$
Solution
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Infos abonnements - Déduire des deux questions précédentes que $y=\dfrac{100-10x}{x+10}$
puis que $EF=\dfrac{x^2+100}{x+10}$Aide
On a montré que $EF=x+y$ donc $EF^2=(x+y)^2
et que $EF^2=x^2+y^2-20x-20y+200$
Remplacer ensuite $y$ par son expression en fonction de $x$ dans $EF=x+y$Solution
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Infos abonnements - En posant $f(x)=\dfrac{x^2+100}{x+10}$, déterminer la valeur de la distance $EF$ minimale et la position du point $M$ correspondante.
Rappel cours
Formules de dérivation (produit, quotient...)
Signe de la dérivée et variations d'une fonction
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$:
$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\geq 0$
$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\leq 0$Aide
Calculer $f'(x)$ en utilisant la dérivée d'un quotient f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$
Etudier le signe de $f'(x)
Déterminer le minimum de $f$ avec les variations de $f$Solution
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