Home PREMIÈRE SPÉCIALITÉ MATHS Chapitre 7 équations de droites et de cercles séquence 5 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement

Équation d’un cercle avec un paramètre-famille de cercles (réf 0842)

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Contenu

Équation d’un cercle

Équation d’un cercle avec un paramètre

Intersection de deux cercles

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Fiche méthode équation d’un cercle (réf 0850)
méthode

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Vidéo de l’exercice

Le plan est muni d'un repère orthonormé et on note $\mathcal{C}_k$ le cercle, s'il existe, défini par l'équation $x^2+y^2-2kx-4ky+4k-1=0$ avec $k$ réel.

Déterminer les valeurs de $k$ pour lesquelles $\mathcal{C}_k$ existe et déterminer alors les coordonnées du centre $\Omega_k$ de $\mathcal{C}_k$ et son rayon $r_k$.

Rappel cours

Équation d'un cercle
Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $C(x_C;y_C)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$

Aide

$(x-k)^2=x^2-2kx+k^2$ et $(y-2k)^2=y^2-4ky+4k^2$

Solution

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Tracer $\mathcal{C}_0$, $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$.
Quelle conjecture peut-on faire pour ces trois cercles?

Solution

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Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{C}_0$ et $\mathcal{C}_1$.

Aide

Il faut résoudre le système formé avec les équations de $\mathcal{C}_0$ et $\mathcal{C}_1$

Solution

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Montrer alors que $\mathcal{C}_k$ passe par deux points fixes quelque soit la valeur du réel $k$.

Aide

Si les cercles $\mathcal{C}_k$ passent tous par deux points fixes, il s'agit alors des points $A$ et $B$ trouvés à la question précédente.
Un point $M(x;y)$ appartient au cercle $\mathcal{C}_k$ si ses coordonnées vérifient une équation de $\mathcal{C}_k$

Solution

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