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Contenu
Équations de droites parallèles et perpendiculaires
Équation d’une médiatrice
Équations de cercle
Centre du cercle circonscrit
Équation de cercle avec un paramètre
Ressources associées et exercices semblables
Devoir application du cours sur les équations de droites perpendiculaires et cercles (réf 0845)
devoir
Devoir complet fin de chapitre équations de droites et de cercles (réf 0847)
devoir
Mémo équations cartésiennes de droites et équation d’un cercle (réf 0851)
mémo
On donne les droites $(d)$, $(d')$ et $(d'')$ ont pour équations respectives $2x-y+4=0$, $-4x+2y-5=0$ et $3x+6y-4=0$
- $(d)$ et $(d')$ sont-elles parallèles?
Rappel cours
Vecteur directeur dans un repère
Dans un repère du plan, la droite $(d)$ a pour équation cartésienne $ax+by+c=0$ alors $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $(d)$.
Si $(d)$ est définie par son équation réduite $y=ax+b$, $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\a\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $(d)$.
Critère de colinéarité dans un repère
Dans un repère du plan, $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{w}(x'y')$ non nuls sont colinéaires si et seulement si $xy'-x'y=0$Aide
Les deux droites sont parallèles si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires
Solution
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Infos abonnements - $(d)$ et $(d'')$ sont-elles perpendiculaires?
Rappel cours
Produit scalaire dans un repère orthonormé
Dans un repère orthonormé, si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'$
Orthogonalité
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls, on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.Solution
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Infos abonnements - Déterminer une équation cartésienne de la droite $\Delta$ perpendiculaire à la droite $d~~:~~2x+y+3=0$ passant par $A(-4;5)$.
Rappel cours
Vecteur normal
Le plan est muni d'un repère orthonormé.
Soit $(d)$ une droite, $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à $(d)$ si $\overrightarrow{v}$ est orthogonal à tout vecteur directeur de $(d)$.
Si $ax+by+c=0$ est une équation cartésienne de $(d)$ alors$\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$Aide
$\overrightarrow{u}$ est un vecteur normal à $\Delta$
Solution
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Infos abonnements - Déterminer une équation du cercle $\mathcal{C}$ de centre $I(-2;3)$ et de rayon 3.
Rappel cours
Équation d'un cercle
Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $C(x_C;y_C)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$Solution
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Infos abonnements - Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $(d)$ et de $\mathcal{C}$, s'ils existent.
Solution
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Infos abonnementsExercice 2 (8 points)Le plan est rapporté à un repère orthonormé et on donne le point $A(-3;2)$, $B(1;4)$ et $C(9;-2)$.- La droite $(d)$ a pour équation $2x+y-1=0$
- Calculer les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$
Le point $I$ appartient-il à $(d)$?Rappel cours
Coordonnées du milieu d'un segment
Dans un repère du plan, si on a $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ alors le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$Aide
Les coordonnées de $I$ doivent vérifier l'équation de $(d)$
Solution
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Infos abonnements - Donner les coordonnées d'un vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ de $(d)$ et calculer $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u}$.
Rappel cours
Coordonnées d'un vecteur
Si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ dans un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$ alors $\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$
Sur la figure ci-dessus $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$
Vecteur directeur dans un repère
Dans un repère du plan, la droite $(d)$ a pour équation cartésienne $ax+by+c=0$ alors $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $(d)$.
Si $(d)$ est définie par son équation réduite $y=ax+b$, $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\a\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $(d)$.
Produit scalaire dans un repère orthonormé
Dans un repère orthonormé, si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'$
Solution
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Infos abonnements - Que représente alors la droite $(d)$?
Solution
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Infos abonnements
- Calculer les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$
- Calculer les coordonnées du milieu $J$ de $[BC]$
puis déterminer une équation cartésienne de la médiatrice $(d')$ de $[BC]$Rappel cours
Vecteur normal
Le plan est muni d'un repère orthonormé.
Soit $(d)$ une droite, $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à $(d)$ si $\overrightarrow{v}$ est orthogonal à tout vecteur directeur de $(d)$.
Si $ax+by+c=0$ est une équation cartésienne de $(d)$ alors$\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$Aide
La droite $(d')$ passe par le milieu $J$ de $[AB]$ et est perpendiculaire à $(AB)$
Solution
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Infos abonnements - Calculer les coordonnées du point $E$, point d'intersection de $(d)$ et $(d')$.
Aide
Il faut résoudre le système formé avec les deux ´équations de droites.
Solution
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Infos abonnements - En déduire une équation du cercle passant par $A$, $B$ et $C$.
Rappel cours
Équation d'un cercle
Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $C(x_C;y_C)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$
Distance dans un repère
Dans un repère orthonormé du plan, on a $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$,
$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
Si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ alors $||\overrightarrow{u}||=\sqrt{x^2+y^2}$Aide
Le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point d'intersection des médiatrices
Solution
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Exercice 3 (4 points)Le plan est muni d'un repère orthonormé.
$\mathcal{E}_m$ est l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que $x^2-2mx+y^2-4y+5m=0$ où $m$ est un réel.
Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles l'ensemble $\mathcal{E}_m$ est un cercle non réduit à un point.
Préciser alors les coordonnées du centre et le rayon en fonction de $m$.Rappel cours
Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
Équation d'un cercle
Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $C(x_C;y_C)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$Aide
$(x-m)^2=x^2-2mx+m^2$ et $(y-2)^2=y^2-4y+4$
Solution
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Infos abonnements - La droite $(d)$ a pour équation $2x+y-1=0$