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Contenu
Limites avec indétermination
Limites avec des racines carrées
Limites avec exponentielle et asymptotes
Ressources associées et exercices semblables
Interrogation opérations sur les limites (réf 1015)
devoir
Limites, cas d’indétermination et asymptotes (réf 1016)
devoir
Les droites $d$ et $d'$ sont asymptotes à la courbe $C_f$.
- Quelles sont les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$ et en $x=3$?
Rappel cours
limite $l$ en $+\infty$ et interprétation graphique
La fonction $f$ est définie sur un intervalle $[a;+\infty[$ et $\ell \in \mathbb{R}$.
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\ell$ si pour tout intervalle ouvert I contenant $\ell$, il existe $x_0$ tel que pour tout $x>x_0$ on a $f(x)\in $ I
La droite d'équation $y=\ell$ est asymptote à la courbe en $+\infty$
Limite infinie quand $x \longrightarrow a$
$f$ est définie sur un intervalle $I$ contenant $a$.
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}f(x)=+\infty$ si pour tout réel $A>0$, il existe un réel $\epsilon>0$ avec $]a-\epsilon;a+\epsilon[\subset I$ tel que $f(x)>A$ pour tout $x\in ]a-\epsilon;a+\epsilon[$.
La droite d'équation $x=a$ est asymptote à a courbe.
Aide
Pour les limites en $+\infty$ et $-\infty$, il faut utiliser l'asymptote $d$.
Pour les limites en $x=3$, il faut distinguer $x<3$ et $x>3$.Solution
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Infos abonnements - On a $f(x)=\dfrac{6-5x}{x-3}$.
Retrouver les limites données par lecture graphique en $+\infty$ et $-\infty$Rappel cours
Opérations sur les limites
Aide
Il faut factoriser $x$ au numérateur et au dénominateur.
Solution
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Infos abonnements - Retrouver les limites de $f$ quand $x=3$.
Rappel cours
Limite infinie quand $x \longrightarrow a$
$f$ est définie sur un intervalle $I$ contenant $a$.
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}f(x)=+\infty$ si pour tout réel $A>0$, il existe un réel $\epsilon>0$ avec $]a-\epsilon;a+\epsilon[\subset I$ tel que $f(x)>A$ pour tout $x\in ]a-\epsilon;a+\epsilon[$.
La droite d'équation $x=a$ est asymptote à a courbe.
Aide
Il chercher la limite au numérateur et au dénominateur en distinguant les cas $x<3$ et $x>3$
Solution
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- $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{x^2+3}{x-1}$.
Aide
Il faut factoriser le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur
Solution
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Infos abonnements - $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{\dfrac{2}{x^2+2}}$
Aide
Il faut chercher la limite de la composée en posant $u(x)=\dfrac{2}{x^2+2}$ et $v(x)=\sqrt{x}$
Solution
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Infos abonnements - $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{cos(x)}{x}$
Rappel cours
Encadrement (théorème des "gendarmes")
$f$, $g$ et $h$ sont définies sur $I=]a;+\infty[$ telles que $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ sur $I$.
Si $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}h(x)=l$ alors $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)=l$Aide
Il faut encadrer $\dfrac{cos(x)}{x}$
Solution
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Infos abonnements - $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x-2}-\sqrt{x}$
On pourra utiliser l'expression conjuguée de $\sqrt{x-2}-\sqrt{x}$Rappel cours
Cas d'indétermination
$+\infty-\infty$
$0\times \pm \infty$
$\dfrac{\pm \infty}{\pm \infty}$
$\dfrac{0}{0}$
Attention, les écritures ci-dessus remplacent les limites mais sont incorrectes...Aide
Pour lever l'indétermination, on peut multiplier par l'expression conjuguée de $\sqrt{x-2}-\sqrt{x}$ au numérateur et au dénominateur
Solution
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Infos abonnements
- Déterminer $D_f$
Aide
Il faut avoir $x^2+4x-5\neq 0$
Solution
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Infos abonnements - Dresser le tableau de signes de $x^2+4x-5$.
Solution
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Infos abonnements - En déduire les limites de $f$ en $x=-5$ et en $x=1$.
Aide
Il faut chercher la limite du numérateur et du dénominateur pour $x\longrightarrow -5^-$, $x\longrightarrow -5^+$, $x\longrightarrow 1^-$ puis $x\longrightarrow 1^+$
On pourra utiliser la question précédente pour déterminer le signe du dénominateur.Solution
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Infos abonnements - On admet que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)= \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty }f(x)=1$.
Que peut-on en déduire pour la courbe $C_f$?
Compléter le tracé de $C_f$ ci-dessous ainsi que les asymptotes à la courbe $C_f$.Rappel cours
limite $l$ en $+\infty$ et interprétation graphique
La fonction $f$ est définie sur un intervalle $[a;+\infty[$ et $\ell \in \mathbb{R}$.
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\ell$ si pour tout intervalle ouvert I contenant $\ell$, il existe $x_0$ tel que pour tout $x>x_0$ on a $f(x)\in $ I
La droite d'équation $y=\ell$ est asymptote à la courbe en $+\infty$Aide
On peut déterminer alors l'asymptote à la courbe $C_f$ en $-\infty$ et $+\infty$
Solution
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- $f(x)=-x+3sin (x)$ en $+\infty$
Rappel cours
Limite par comparaison
Soit $f$ et $g$ définie sur $I=]a;+\infty[$ telles que $f(x)\leq g(x)$ sur $I$.
Si $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$ alors $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)=+\infty$
Si $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)=-\infty$ alors $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=-\infty$Aide
Il faut déterminer la limite de chaque terme de la somme donc de $-x$ puis de $3sin(x)$
Solution
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Infos abonnements - $f(x)=\dfrac{x+5}{4x+1}$ en $+\infty$
Rappel cours
Cas d'indétermination
$+\infty-\infty$
$0\times \pm \infty$
$\dfrac{\pm \infty}{\pm \infty}$
$\dfrac{0}{0}$
Attention, les écritures ci-dessus remplacent les limites mais sont incorrectes...Aide
Il faut factoriser $x$ au numérateur et au dénominateur
Solution
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Infos abonnements - $f(x)=\sqrt{x+2}-\sqrt{x+3}$ en $+\infty$
On pourra montrer que pour tout réel $x>-2$ on a $\sqrt{x+2}-\sqrt{x+3}=\dfrac{-1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+3}}$Aide
Il s'agit d'un cas d'indétermination $+\infty- (+\infty)$
Il faut multiplier par l'expression conjuguée de $\sqrt{x+2}-\sqrt{x+3}$ soit $\sqrt{x+2}+\sqrt{x+3}$Solution
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- A l'aide du graphique, conjecturer les limites de $f$ en $0$ et $+\infty$.
Solution
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Infos abonnements - Démontrer les résultats ci-dessus.
Rappel cours
Croissances comparées de $x^n$ et $e^x$
$n\in \mathbb{N}^*$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty$
Opérations sur les limites
Aide
rappel $e^0=1$
Solution
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- Déterminer la limite de $f$ en $-2$.
Rappel cours
Opérations sur les limites
Aide
Il faut chercher la limite du numérateur puir du dénominateur ainsi que son signe
Solution
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Infos abonnements - Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
Rappel cours
Cas d'indétermination
$+\infty-\infty$
$0\times \pm \infty$
$\dfrac{\pm \infty}{\pm \infty}$
$\dfrac{0}{0}$
Attention, les écritures ci-dessus remplacent les limites mais sont incorrectes...Aide
Il faut factoriser $x$ au numérateur et au dénominateur pour $x\neq 0$
Solution
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Infos abonnements - La droite $(d)$ a pour équation $y=x+2$
- Montrer que $f(x)-(x+2)=\dfrac{-1}{x+2}$
Solution
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Infos abonnements - En déduire $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)-(x+2)$ et en donner une interprétation graphique.
Solution
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Infos abonnements - Déterminer la position relative de $(d)$ et $C_f$.
Aide
Il faut déterminer si $(d)$ est au-dessus ou en-dessous de $C_f$ en étudiant le signe de $f(x)-(x+2)$
Solution
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Infos abonnements- Tracer les asymptotes à la courbe et compléter le tracé de $C_f$.
Solution
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Infos abonnements - Tracer les asymptotes à la courbe et compléter le tracé de $C_f$.
- Montrer que $f(x)-(x+2)=\dfrac{-1}{x+2}$