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Contenu
Projeté orthogonal sur une droite
Développer avec un produit scalaire
Calcul du produit scalaire avec le projeté orthogonal
Calcul d’une longueur sur la diagonale du rectangle
Ressources associées et exercices semblables
Droites orthogonales (réf 0794)
exercice
Interrogation utiliser les différentes expressions du produit scalaire (réf 0799)
devoir
Aide mémoire les différentes expressions du produit scalaire (réf 0805)
mémo
Vidéo de l’exercice
Les points $H$ et $K$ sont les projetés othogonaux respectivement des points $A$ et $C$ sur $(BD)$.
- Construire le rectangle $ABCD$ et les points $H$ et $K$.
Rappel cours
Projeté orthogonal d'un point $M$ sur la droite $(d)$
$H$ est le projeté orthogonal d'un point $M$ sur la droite $(d)$ si $(MH)\perp (d)$ et $H\in (d)$Solution
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Infos abonnements - Exprimer $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}$ en fonction de $HK$
Rappel cours
Produit scalaire et projeté orthogonal
Soit $A$, $B$ et $C$ trois points ($A$ et $B$ distincts) et $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$.
Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=0$ (soit $\widehat{BAC}$ aigu)
et $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=\pi$ (soit $\widehat{BAC}$ obtus)Aide
On peut décomposer le vecteur $\overrightarrow{AC}$ en $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$
Solution
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Infos abonnements - En utilisant $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}$, calculer $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}$.
En déduire la distance $HK$.Aide
Utiliser la décomposition du vecteur donnée et développer l'expression.
Utiliser ensuite les projetés orthogonaux de $A$ sur $(CD)$ et de $B$ sur $(CD)$Solution
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