Déterminer les coordonnées d'un vecteur normal au plan $P$ puis une représentation paramétrique de la droite $(d)$ orthogonale à $P$ passant par $A$

Rappel cours

Vecteur normal à un plan-équation cartésienne d'un plan
Dans l'espace muni d'un repère othonormé, $P$ est un plan de l'espace, un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $P$ est un vecteur directeur d'une droite orthogonale à $P$.
Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $P$ passant par $A$ et $P$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$.
$ax+by+cz+d=0$ est une équation cartésienne de $P$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$
Représentation paramétrique d'une droite
Dans l'espace muni d'un repère, la droite passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix}$ a pour représentation paramétrique $ \begin{cases} x=x_A+tu_1\\ y=y_A+tu_2\\ z=z_A+tu_3 \end{cases}$

Aide

La droite $(d)$ est orthogonale au plan $P$ donc un vecteur normal au plan $P$ est un vecteur directeur de $(d)$

Solution

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Déterminer les coordonnées du Point d'intersection $H$ de $(d)$ et $P$

Aide

Les coordonnées de $H$ doivent vérifier l'équation de $P$.
On remplace $x$, $y$ et $z$ dans l'équation de $P$ par $3+2t$, $2-2t$ et $-1+t$

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En déduire la distance entre le point $A$ et le plan $P$.

Rappel cours

Distance point-droite
La distance entre le point $M$ et le plan $P$ est la distance entre le point $M$ et le projeté orthogonal de $M$ sur $P$
Distance dans l'espace
Si le repère de l'espace est orthonormé, la distance $AB$ est: $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$

Aide

Le point $H$ est le prohjeté otthogonal de $A$ sur le plan $P$ puisque $(AH)$ orthogonale à $P$ et $H\in P$

Solution

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