Envoyez votre messageSujet prévisionnel BAC spé maths première
Ceci est le sujet 1 prévisionnel pour l’année 2026 permettant de fixer un cadre sur les sujets qui peuvent être donnés pour la première session de BAC en première.
Le QCM (12 questions sans justification) porte sur les programmes de seconde et de première.
L’exercice 2 porte sur les suites géométriques
L’exercice 3 porte sur les fonctions du second degré, dérivées et fonction exponentielle
Chapitre suites
- Suite définie par une relartion de récurrence
- Suite géométrique
- Suite arithmético-géométrique
Chapitre fonctions et fonction exponentielle
- Racines et signe d’un polynôme de degré 2
- Dérivée d’un produit
- Fonction exponentielle(u)
- On considère l'arbre de probabilité ci-dessous.
On cherche la probabilité de l'évènement $B$.
Rappel cours
Probabilités totales
Soient $A_1$, $A_2$,...$A_n$ des événements de l'univers $\Omega$ tels que $p(A_1)\neq 0$, $p(A_2)\neq 0$...$p(A_n)\neq 0$ et $B$ un événements.
Si $A_1$, $A_2$,...$A_n$ sont deux à deux disjoints et que leur réunion forme l'univers $\Omega$ alors $A_1$, $A_2$...$A_n$ forment une partition de $\Omega$
et on a $p(B)=p(A_1\cap B)+p(A_2\cap B)+...+p(A_n\cap B)$}
$A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers et on a $p(B)=p(A\cap B)+p(\overline{A}\cap B)$Aide
On peut commencer par compléter l'arbre
Il faut donc ajouter les probabilités correspondant aux parcours $A\cap B$ et $\overline{A}\cap B$ sur l'arbreSolution
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INSCRIPTION - Une tablette coûte $200$ euros. Son prix diminue de $30\,%$. \\
Le prix après cette diminution est :
Rappel cours
Coefficient multiplicateur
Une quantité $V_i$ à laquelle on applique un taux d'évolution $t$ est multipliée par $k=1+t$.
Rappel: $t=\dfrac{V_f-V_i}{V_i}$Solution
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INSCRIPTION - Une réduction de 50% suivi d'une augmentation de 50% équivaut à :
Aide
On peut chercher le coefficient multiplicateur appiqué suite à ces deux variations
Solution
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INSCRIPTION - Dans un lycée, le quart des élèves sont internes, parmi eux, la moitié sont des filles.
La proportion des filles internes par rapport à l'ensemble des élèves du lycée est égale à :
Aide
Il faut calculer le quart de la moitié...
Solution
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INSCRIPTION - On considère le nombre $N = \dfrac{10^7}{5^2}$. On a :
Solution
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INSCRIPTION - Un appareil a besoin d'une énergie de $7,5 \times 10^6$ joules pour se mettre en route.
À combien de kiloWatts-heure (kWh) cela correspond-il ?
Données: 1 kWh $= 3,6 \times 10^6$ J
Solution
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INSCRIPTION - Le plan est muni d'un repère orthogonal. On note $d$ la droite passant par les points
A$(0~;~-1)$ et B(2~;~5).
Le coefficient directeur de la droite $d$ est égal à :
Rappel cours
Déterminer l'équation réduite de $(AB)$
Dans un repère du plan, si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ avec $x_A\neq x_B$, pour déterminer l'équation réduite de $(AB)$:
- Calcul du coefficient directeur
$a=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
- Calcul de $b$
Le point $A$ appartient à la droite $(AB)$ donc ses coordonnées vérifient $y_A=ax_A+b$ (équation d'inconnue $b$)Solution
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INSCRIPTION - On a représenté ci-dessous une droite $D$.
Parmi les quatre équations ci-dessous, la seule susceptible de représenter la droite $D$ est :
Aide
La droite passe par $O(0;0)$
son coefficient directeur est négatifSolution
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INSCRIPTION - On note $\mathcal{S}$ l'ensemble des solutions de l'équation $x^2 = 10$ sur $\mathbb{R}$. On a :
Solution
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INSCRIPTION - La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$f(x) = (3x - 15)(x + 2)$
admet pour tableau de signes :
Aide
Il faut dresser le tableau de signes du produit des facteurs $3x-15$ et $x+2$
Solution
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INSCRIPTION - L'expression développée de $(2x + 0,5)^2$ est :
Rappel cours
Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
Solution
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INSCRIPTION - Lorsqu'un point mobile suit une trajectoire circulaire de rayon $R$, en mètre (m), son accélération centripète $a$ (en m/s$^2$) s'exprime en fonction de la vitesse (en m/s) de la manière suivante:
$a = \dfrac{v^2}{R}$.
L'expression permettant, à partir de cette formule, d'exprimer la vitesse $v$ est :
Solution
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INSCRIPTION
On modélise l'évolution du nombre d'habitants de cette ville par la suite $(u_n)$ définie ainsi: $\begin{cases} u_0=10~000\\ u_{n+1}=1,08u_n - 300 \text{pour tout } n \in \mathbb{N} \end{cases}$ où $u_n$ représente le nombre d'habitants pour l'année $2020 + n$.
- Indiquer ce que représente $u_1$ et calculer sa valeur.
Aide
$u_1$ représente le nombre d'habitants pour l'année $2020 + 1$
Solution
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INSCRIPTION - On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 3750$.
- Déterminer $v_0$.
Aide
On remplace $n$ par $0$ dans $v_n = u_n - 3750$.
Solution
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INSCRIPTION - Démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a $v_{n+1} = 1,08v_n$.
Aide
On a $v_{n+1} =u_{n+1}-3750$ et $u_{n+1}=1,08u_n - 300$
Solution
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INSCRIPTION - En déduire la nature de la suite $(v_n)$.
Rappel cours
Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$Solution
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INSCRIPTION - Pour tout entier naturel $n$, exprimer, $v_n$ en fonction de n.
Rappel cours
Forme explicite d'une suite géométrique
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0\times q^n$
et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$Solution
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INSCRIPTION - En déduire que pour tout entier naturel, on a $u_n = 6250 \times 1,08^n + 3750$.
Aide
On a $v_n = u_n - 3750$ donc $u_n = v_n + 3750$
Solution
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- Déterminer $v_0$.
- Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille automatisée de calcul, a été obtenu par recopie vers le bas après avoir saisi la formule suivante dans la cellule B2 : $= 6250*1,08\widehat{\phantom{o}}A2 + 3750$
La municipalité envisage d'ouvrir une nouvelle école maternelle dès que la population atteindra $19~000$ habitants.
La construction d'un tel établissement nécessitant deux ans, déterminer l'année à partir de laquelle la construction de l'école doit commencer.Solution
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Partie A
On considère la fonction $P$ définie sur l'intervalle $[-5; 3]$ par : $P(x) = 2 x^{2}+ x - 10$.
-
- Déterminer les racines de $P$.
Rappel cours
Racines
Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
c'est à dire telles que $P(x)=0$.
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.Aide
On a $a=2$, $b=1$ et $c=-10$
Solution
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INSCRIPTION - En déduire l'axe de symétrie de la parabole d'équation $y= P(x)$.
Aide
L'abscisse du sommet est au milieu du segment formé avec les points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses
On peut aiussi directement chercher l'abscisse du sommet de la parabole avec $x_S=\dfrac{-b}{2a}$Solution
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- Déterminer les racines de $P$.
- Établir le tableau de signes de la fonction $P$ sur l'intervalle $[-5~:~3]$.
Rappel cours
Signe de $ax^2+bx+c$
- Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$
- Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)
- Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
Solution
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Partie B
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-5~:~3]$ dont on donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$.
La tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A d'abscisse 2 est horizontale.
- Donner la valeur du nombre dérivé $f'(2)$.
Rappel cours
Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}Aide
Il faut déterminer le coefficient ditrecteur de la tangente $T$
Solution
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INSCRIPTION - Résoudre, avec la précision permise par le graphique, l'inéquation $f'(x) < 0$.
Aide
$f'(x) < 0$ lorsque $f$ est décroissante
Solution
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INSCRIPTION - On sait que sur l'intervalle $[-5~;~3]$ : $f(x)=\left(4 x^{2}-14 x + 8\right) e^{0,5x}$.
Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[-5~;~3]$, on a : $f'(x)= P(x) e^{0,5 x}$Rappel cours
Formules de dérivation (produit, quotient...)
Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$
La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$
La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$Aide
On pose $u(x)=4 x^{2}-14 x + 8$ et $v(x)=e^{0,5x}$
Solution
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INSCRIPTION - En utilisant les résultats de la partie A, dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-5~;~3]$. (Il n'est pas demandé de calculer les images).
Aide
On a $e^{0,5x} > 0$ donc $f'(x)$ est du même signe que $P(x)$
Solution
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