Home PREMIÈRE SPÉCIALITÉ MATHS Sujets corrigés BAC spé maths année 2026

Ceci est le sujet AMÉRIQUE DU NORD du 3 juin 2026 qui est le premier sujet correspondant au nouveau de BAC en première.

Le QCM (8 questions sans justification) porte sur les programmes de seconde et de première.

L’exercice 2 porte sur les probabilités et est « classique » avec deux tirages successifs avec remise

L’exercice 3 porte sur les suites géométriques avec un algorithme Python

L’exercice 4 concerne la fonction exponentielle avec le calcul d’une dérivée (produit de fonctions et dérivée de exp(u))

Sujet BAC spé maths première 2026 Amérique du Nord

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QCM

Probabilités
Pourcentages
Second degré
Droites

Chapitre Probabilités

Arbre pondéré
Variable aléatoire et loi de probabilité
Expérance

Chapitre Suites

Suite géométrique
Algorithme recherche d’un seuil

Chapitre fonctions et fonction exponentielle

Racines et signe d’un polynôme de degré 2
Dérivée d’un produit
Fonction exponentielle(u)

Vidéo ex 1

Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.

Le nombre $\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}\times 4$ est égal à:

Aide

rappel: la multiplication est prioritaire

Solution

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Le volume de la partie visible d'un iceberg est d'environ 10% de son volume total.
Si la partie visible d'un iceberg est de 150 km$^3$, quel sera le volume total de cet iceberg?

Aide

On a $\dfrac{10}{100}\times V=150$

Solution

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Le prix d'un article est multiplié par $0,845$.
Cela signifie que le prix de cet article a:

Rappel cours

Coefficient multiplicateur
Une quantité $V_i$ à laquelle on applique un taux d'évolution $t$ est multipliée par $k=1+t$.
Rappel: $t=\dfrac{V_f-V_i}{V_i}$

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On considère la fonction $A$ définie pour tout réel $x$ par: $A(x) = (x + 5) (x + 8)$
Le tableau de signes de $A(x)$ sur $\mathbb{R}$ est:

Rappel cours

Signe de $ax^2+bx+c$
- Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$

- Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)

- Cas $\Delta<0$ (aucune racine)

Solution

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Un singe choisit une lettre au hasard parmi les lettres de l'alphabet.
On note les évènements:
$V$: "Le singe choisit une voyelle."
$M$: "Le singe choisit une des lettres du mot SINGE"
Rappel: L'alphabet est constitué de 26 lettres dont les voyelles sont : A, E, I, O, U, Y.
On note $p_M (V)$ la probabilité que le singe choisisse une voyelle sachant qu'il a choisi une lettre du mot SINGE.
On peut alors affirmer que $p_M(V)$ vaut :

Rappel cours

Probabilité conditionnelle
Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$.
La probabilité que l'événement $B$ soit réalisé sachant que l'événement $B$ est réalisé se note $p_A(B)$
et on a $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$.

Solution

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Soit f une fonction affine, dont on a tracé la représentation graphique dans le repère ci-dessous.

Une expression algébrique de f est:

Solution

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La forme développée et réduite de l'expression $(x +2)^2- (1 - x)^2$ vaut:

Rappel cours

Déterminer l'équation réduite de $(AB)$
Dans un repère du plan, si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ avec $x_A\neq x_B$, pour déterminer l'équation réduite de $(AB)$:
- Calcul du coefficient directeur
$a=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
- Calcul de $b$
Le point $A$ appartient à la droite $(AB)$ donc ses coordonnées vérifient $y_A=ax_A+b$ (équation d'inconnue $b$)

Solution

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L'équation $2(x - 4) - (2x + 1) = 0$ admet:

Aide

La droite passe par $O(0;0)$
son coefficient directeur est négatif

Solution

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On considère le nombre réel : $E =\dfrac{2\times 3^2}{27\times 2^3}$
On peut affirmer que $E$ est égal à

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Vidéo ex 2

Durant une fête foraine, une urne contient dix boules.
Chaque boule est soit verte, soit rouge, indiscernable au toucher.
Un jeu est proposé aux personnes présentes à la fête foraine.
Pour y participer le joueur doit d'abord payer 1 euro.
Ensuite, le joueur tire une première boule qu'il donne au forain, celui-ci note sa couleur puis remet la boule dans l'urne;
le joueur tire une deuxième boule, le forain note la couleur de ce deuxième tirage et remet à nouveau la boule dans l'urne.
Voici les récompenses qu'il obtient:
si le joueur a tiré deux boules rouges, il reçoit 3 euros;
si le joueur a tiré deux boules vertes, il reçoit 1 euro;
sinon il ne reçoit pas d'argent.
Partie A
Dans cette partie, on considère que cette urne contient 1 boule rouge et 9 boules vertes.
On note:
$R_1$ l'événement : "La première boule tirée est rouge."
$R_2$ l'événement: "La deuxième boule tirée est rouge."

Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous représentant la situation.

Rappel cours

Arbre pondéré
Probabilités sur un arbre pondéré:

Solution

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On note $X$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur, c'est-à dire la différence entre la somme reçue après les deux tirages et les frais de participation au jeu de 1 euro.
1. Donner les valeurs prises par la variable aléatoire $X$.
  
  Aide
  
  , le joueur mise 1 euro au départ
  
  Solution
  
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2. Montrer que $p(X = -1) =\dfrac{18}{100}$
  
  Aide
  
  On a $X=-1$ quand on obtient deux boules de couleurs différentes soit $R_1\cap \overline{R_2}$ ou bien $ \overline{R_1}\cap R_2$
  
  Solution
  
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3. Recopier sur votre feuille et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$:
  
  Aide
  
  Il faut calculer $p(R_1\cap R_2)$ puis $p(\overline{R_1}\cap \overline{R_2})$
  
  Solution
  
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4. Calculer l'espérance de $X$ et interpréter le résultat.
  
  Rappel cours
  
  Espérance-variance-écart type
  L'espérance de la variable aléatoire $X$ (avec les notations précédentes) est:
  $E(X)=x_1p_1+x_2p_2+......+x_np_n=\sum_{i=1}^n p_ix_i$
  La variance d'une variable aléatoire $X$ est:
  $V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+.....+p_n(x_n-E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_i(x_i-E(X))^2$
  ou bien $V(X)=p_1x_1^2+p_2x_2^2+.....+p_nx_n^2-(E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_ix_i^2-(E(X))^2$
  L'écart type est égal à la racine carrée de la variance: $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$
  
  Solution
  
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PARTIE B
Dans cette partie, on considère que cette urne contient maintenant $n$ boules rouges et $10- n$ boules vertes où $n$ est un nombre entier naturel avec $0 \leq n \leq 10$.
On note $Y$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique après les deux tirages.

Démontrer que $E(Y) =\dfrac{4n^2-20n}{100}$
On expliquera la démarche mise en oeuvre. Toute démarche, même incomplète, sera prise en compte dans la notation.

Aide

Il y a $10$ boules au total et on a maintenant $p(R_1)=p(R_2)=\dfrac{n}{10}$ et $p(\overline{R_1})=p(\overline{R_2})=\dfrac{10-n}{10}$

Solution

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Pour combien de boules rouges dans l'urne le jeu est-il équitable entre le joueur et le forain?

Aide

Le jeu est équitable si on a $E(X)=0$

Solution

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Vidéo ex 3

Pour réduire sa facture d'électricité, Camille a décidé de faire poser des panneaux solaires sur le toit de sa maison.
Il souhaite analyser sa production et estimer le temps nécessaire pour rentabiliser cet investissement.
Les deux parties suivantes sont indépendantes.
PARTIE A
Lors d'une belle journée ensoleillée, la puissance électrique en kilowatt (kW) des panneaux solaires de Camille peut être modélisée en fonction de l'heure par une fonction $f$. On admet que $f$ est définie sur $[0;24]$ et on donne sa courbe représentative $C$ ci-dessous.
variable aléatoire

Avec la précision permise par le graphique :

Donner la puissance électrique des panneaux solaires à 11h00.

Solution

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Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) \geq 5$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.

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Partie B
Le coût pour 1 kilowattheure (kWh) consommé au tarif réglementé était de 0,15 euros en 2020.
On admet que ce tarif réglementé augmente de 6 % chaque année.
On note $C_n$, le coût en euros pour 1 kWh consommé durant l'année $2020+n$, avec $n$ un entier naturel.
On a alors $C_0 = 0,15$.

Déterminer la nature de la suite $(C_n)$. On précisera sa raison.

Rappel cours

Coefficient multiplicateur
Une quantité $V_i$ à laquelle on applique un taux d'évolution $t$ est multipliée par $k=1+t$.
Rappel: $t=\dfrac{V_f-V_i}{V_i}$
Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$

Aide

Augmenter de 6% revient à multiplier par $1+\dfrac{6}{100}$

Solution

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Pour tout entier naturel $n$, exprimer $C_n$ en fonction de $n$.

Rappel cours

Forme explicite d'une suite géométrique
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0\times q^n$
et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$

Solution

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Donner le calcul permettant d'obtenir le coût pour 1 kWh consommé en 2030.
II n'est pas demandé d'effectuer ce calcul.

Aide

$2030=2020+10$

Solution

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On admet que, chaque année depuis 2020, l'utilisation des panneaux solaires de Camille lui a permis d'éviter l'achat de 2000 kWh par an.
L'installation des panneaux solaires en janvier 2020 a coûté à Camille 7000 euros.
On considère le programme Python ci-dessous.
1. Dans le contexte de l'énoncé, que représentent les variables $c$ et $s$ du programme?
  
  Solution
  
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2. On exécute le programme ci-contre.
  Il affiche 16.
  Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
  
  Solution
  
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Vidéo ex 4

On considère la fonction $f$ définie sur R par: $f(x) = (4x -4) e^{-0,5x} +5$.
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
On admet que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) = (-2x + 6) e^{-0,5x}$

Rappel cours

Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$
La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$
La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$
Formules de dérivation (produit, quotient...)

Aide

On pose $u(x)=4x-4$ et $v(x)=e^{-0,5x}$

Solution

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Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$ puis en déduire les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

Aide

$e^{-0,5x}$ est strictement positif donc $f'(x)$ est du même signe que $-2x+6$

Solution

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La courbe $\mathcal{C}_f$ , admet-elle des points pour lesquels la tangente est horizontale?
Si oui, on précisera les coordonnées exactes de ces éventuels points.

Rappel cours

Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}

Aide

La tangente est horizontale si sont coefficient directeur est nul

Solution

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