Home PREMIÈRE SPÉCIALITÉ MATHS Chapitre 5 Trigonométrie Séquence 2 cosinus et sinus

Calculs avec le produit scalaire (réf 0773)

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Contenu

Calculs avec le produit scalaire

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Vidéo de l’exercice

$ABC$ et $ACD$ sont deux triangles rectangles respectivement en $B$ et en $D$ tels que $BC=5$cm, $AC=6$cm et $CD=4$cm

Calculer $ \overrightarrow{CA}. \overrightarrow{CB}$

Rappel cours

Produit scalaire et projeté orthogonal
Soit $A$, $B$ et $C$ trois points ($A$ et $B$ distincts) et $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$.
Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=0$ (soit $\widehat{BAC}$ aigu)
et $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=\pi$ (soit $\widehat{BAC}$ obtus)

Aide

Utilser le projeté orthogonal de $A$ sur $(CB)$

Solution

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Calculer $ \overrightarrow{CA}. \overrightarrow{CD}$

Aide

Utilser le projeté orthogonal de $A$ sur $(CD)$

Solution

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En déduire $ \overrightarrow{CA}. \overrightarrow{BD}$

Rappel cours

Propriétés du produit scalaire
Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs et $k$ un réel:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$
$(k \overrightarrow{u}).\overrightarrow{v}=k(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})$

$(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w}$

Aide

On peut décomposer $ \overrightarrow{BD}= \overrightarrow{BC}+ \overrightarrow{CD}$
$ \overrightarrow{BC}=- \overrightarrow{CB}$

Solution

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