Primitives des fonctions usuelles

Intégrale
La fonction $f$ est continue sur $[ab]$ et $F$ est une primitive de $f$ sur $[a;b]$
$\int_a^b f(x)dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$

Il faut chercher une primitive de $2x-1$

Si on pose $f(x)=2x-1$ on a $f$ continue sur $\mathbb{R}$ donc $f$ admet des primitives sur $[0;2]$.
$F(x)=x^2-x$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.
En effet $F'(x)=2x-1=f(x)$.
$F(0)=0^2-0=0$
et $F(2)=2^2-2=2$
$\displaystyle \int_0^2 f(x)dx=[F(x)]_0^2=F(2)-F(0)=2-0=2$
$\displaystyle \int_0^2 2x-1 dx=2$

Primitives des fonctions usuelles

Il faut chercher une primitive de $x^2-3$

Si on pose $f(x)=x^2-3$ on a $f$ continue sur $\mathbb{R}$ donc $f$ admet des primitives sur $[0;2]$.
$F(x)=\dfrac{x^3}{3}-3x$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.
En effet $F'(x)=\dfrac{3x^2}{3}-3=x^3-3$.
$F(0)=\dfrac{0^3}{3}-3\times 0=0$
et $F(2)=\dfrac{2^3}{3}-3\times 2=\dfrac{8}{3}-\dfrac{18}{3}=\dfrac{-10}{3}$
$\displaystyle \int_0^2 f(x)dx=[F(x)]_0^2=F(2)-F(0)=\dfrac{-10}{3}-0=\dfrac{-10}{3}$
$\displaystyle \int_0^2 x^2-3 dx=\dfrac{-10}{3}$
Contrôle avec la calculatrice

Avec une TI, la syntaxe est int(fonction, variable,borne inférieure, borne supérieure)

Dérivée de la fonction ln
La fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$

Il faut chercher une primitive de $2\times \dfrac{1}{x}$

Si on pose $f(x)=\dfrac{2}{x}$ on a $f$ continue sur $[1;e]$ donc $f$ admet des primitives sur $[1;e]$.
$F(x)=2ln(x)$ est une primitive de $f$ sur $[1;e]$.
En effet $F'(x)=2\times \dfrac{1}{x}=f(x)$
$F(1)=2ln(1)=0$ (rappel $ln(1)=0$)
et $F(e)=2ln(e)=2$ (rappel $ln(e)=1$)
$\displaystyle \int_1^e f(x)dx=[F(x)]_1^e=F(e)-F(1)=2-0=2$
$\displaystyle \int_1^e \dfrac{2}{x} dx=2$
penser à contrôler avec la calculatrice

Si on pose $f(x)=e^x$ on a $f$ continue sur $\mathbb{R}$ donc $f$ admet des primitives sur $[-2;0]$.
$F(x)=e^x$ est une primitive de $f$ sur $[-2;0]$.
En effet $F'(x)=e^x=f(x)$
$F(-2)=e^{-2}=\dfrac{1}{e^2}$
et $F(0)=e^0=1$
$\displaystyle \int_{-2}^0 f(x)dx=[F(x)]_{-2}^0=F(0)-F(-2)=1-\dfrac{1}{e^2}$
$\displaystyle \int_{-2}^0 e^x dx=1-\dfrac{1}{e^2}$
penser à contrôler avec la calculatrice