Graphe connexe
Un graphe connexe est un graphe non orienté dans lequel il existe un chemin entre chaque paire de sommets.
Chaîne eulérienne
Une chaîne eulérienne est une chaîne sur le graphe utilisant toutes es arêtes une et une seule fois.
existence d'une chaîne eulérienne
Un graphe connexe admet une chaîne eulérienne si et seulement si ses sommets sont tous de degré pair sauf deux d'entre eux.

Vérifier d'abord que le graphe est connexe
Déterminer le degré de chaque sommet

La chaîne A-B-C-D-E passe par tous les sommets du graphe donc $G_1$ est connexe.
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline Sommet&A&B&C&D&E\\ \hline Degré&1&4&2&3&2\\ \hline \end{tabular}
Le graphe $G_1$ est connexe et possède exactement 2 sommets de degré impair
donc $G_1$ admet une chaîne eulérienne.
Cette chaîne a pour extrémités les deux sommets de degré impair A et D:
A-B-E-D-B-C-D est une chaîne eulérienne.

Remarque
En calculant la somme des degrés, on obtient le nombre d'arêtes et la chaîne eulérienne citée doit contenir ce nombre total d'arêtes.
Ici, la somme des degrés est 12 donc il y a 6 arêtes.
La chaîne A-B-E-D-B-C-D contient bien les 6 arêtes (tirets entre les sommets) du graphe.

Vérifier d'abord que le graphe est connexe
Déterminer le degré de chaque sommet

La chaîne A-B-C-D-E passe par tous les sommets du graphe donc $G_2$ est connexe.
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline Sommet&A&B&C&D&E\\ \hline Degré&4&3&4&3&4\\ \hline \end{tabular}
Le graphe $G_2$ est connexe et possède exactement deux sommets de degré impair
donc $G_2$ admet une chaîne eulérienne.
B-A-E-D-C-B-E-C-A-D est une chaîne eulérienne.

Vérifier d'abord que le graphe est connexe

Il n'existe aucune chaîne passant par tous les sommets du graphe.
En effet la chaîne passant par A et E ne peut passer par les autres sommets du graphe.
$G_3$ n'admet aucune chaîne eulérienne.