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Contenu
Identification de la courbe de f à partir de celle de la primitive
Recherche de primitives avec une fonction rationnelle et la composée ln(u)
exercice BAC 2024 Métropole
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Étude et primitive d’une fonction avec une exponentielle(réf 1169)
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Justifier une primitive F et étude de la convexité avec ln(u) (réf 1170)
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Justifier une primitive puis calculer des constantes avec les conditions données (réf 1172)
exercice
Les fonction $g$ et $h$ sont définies sur $[-4;2]$ et on donne ci-dessous $C_g$ et $C_h$ les représentations graphiques respectivement des fonctions $g$ et $h$.
L'une des deux fonctions $g$ et $h$ est une primitive $F$ de $f$ et l'autre correspond à la dérivée $f'$ de $f$.
Identifier chacune de ces deux fonctions ($F$ et $f'$).
Rappel cours
Primitive d'une fonction
$F$ définie et dérivable sur $I$ est une primitive de $f$ sur $I$ si et seulement si $F'(x)=f(x)$.
Toute fonction $f$ continue sur $I$ admet des primitives.
Par exemple $F(x)=x^2$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ est une primitive de $f(x)=2x$ sur $\mathbb{R}$
Aide
On a $F'(x)=f(x)$ donc le signe de $f(x)$ donne les variations de $F$.
Quand $f$ est croissante alors $f'(x)\geq 0$. Le sens de variations de $f$ donne le signe de $f'(x)$.
Solution
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- Justifier que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$.
Rappel cours
Discriminant
$P(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
Le discriminant du polynôme du second degré $P$ est $\Delta=b^2-4ac$Aide
Il faut que $2x^2+6x+5$
Solution
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Infos abonnements - Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Rappel cours
Dérivée de $ln(u)$
$\left(ln(u)\right)'=\dfrac{u'}{u}$ avec $u$ dérivable et $u(x)> 0$Aide
Il faut faire apparaître $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ dans $f(x)$ avec $u(x)=2x^2+6x+5$
Solution
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Infos abonnements - En déduire la primitive $G$ de $f$ s'annulant en $x=-1$.
Aide
$G(x)=F(x)+C$ et $G(-1)=0$
Solution
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- Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que $f(x)=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x-1}+\dfrac{c}{x+1}$
Aide
Il faut écrire $\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x-1}+\dfrac{c}{x+1}$ sous le même dénominateur et identifier les coefficients $a$, $b$ et $c$ pour que le numérateur soit celui de $f$
Solution
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Infos abonnements - En déduire l'ensemble des primitives de $f$ sur $]1;+\infty[$.
On admet l'existence de ces primitives.Rappel cours
Dérivée de $ln(u)$
$\left(ln(u)\right)'=\dfrac{u'}{u}$ avec $u$ dérivable et $u(x)> 0$Solution
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Infos abonnements - Montrer que $F(x)=ln\left(\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x}\right)+C$ avec $C$ constante réelle.
Rappel cours
Propriétés algébriques du logarithme
Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, on a:
$ln(ab)=ln(a)+ln(b)$
$ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=ln(a)-ln(b)$
$ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=-ln(b)$
$ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}ln(a)$
pour tout entier naturel $n >0$ on a $ln\left(a^n\right)=nln(a)$Solution
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Dans le repère orthonormé ci-dessous ont été représentés :
- la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ ;
- la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ en son point N$(0~;~2)$;
- le point M$(-2~;~0)$ appartenant à $\mathcal{C}_f$ et P$(2~;~0)$ appartenant à la tangente $T$.
On précise que la fonction $f$ est strictement positive sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et qu'elle est strictement croissante sur l'intervalle $]- \infty~;~-1]$.
Partie A : étude graphique
On répondra aux questions suivantes en utilisant le graphique.
- Donner $f(0)$.
Solution
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Infos abonnements - Déterminer $f'(0)$.
Rappel cours
Nombre dérivé et coefficient directeur des tangentes
Le coefficient directeur de la tangente à lacourbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est $f'(a)$Aide
Il faut déterminer le coefficient directeur de $T$
Solution
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Infos abonnements - Résoudre l'équation $f(x) = 0$.
Aide
Les solutions sont les abscisses des points d'intersection de la courbe et de l'axe des abscisses
Solution
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Infos abonnements - La fonction $f$ est-elle convexe sur $\mathbb{R}$ ? Justifier.
Rappel cours
Convexité et tangentes
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle I et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
$f$ est convexe sur I si la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de ses tangentes.
Dans le cas contraire, $\mathcal{C}_f$ en-dessous de ses tangentes), $f$ est concave.Solution
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Infos abonnements - Parmi les courbes suivantes, indiquer laquelle peut représenter une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. Justifier.
Aide
Si $F$ est une primitive de $f$ alors $F'(x)=f(x)$
Le signe de $f(x)$ permet donc de déterminer le sens de variation de $F$.Solution
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Partie B : recherche d'une expression algébrique
On admet que la fonction $f$ est de la forme $f(x)= (ax + b)e^{\lambda x}$ où $a, b$ et $\lambda$ sont des constantes réelles.
Pour répondre aux questions suivantes, on utilisera les résultats de la partie A.
- Justifier que $b = 2$.
Aide
On a $f(0)=2$
Solution
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Infos abonnements - Montrer que $a=1$
Aide
$f(-2)=0$
Solution
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Infos abonnements - En déduire que $f(x)= (x + 2)e^{- x}$. Justifier.
Rappel cours
Formules de dérivation (produit, quotient...)
Dérivée de $e^u$
$(e^u)'=u'e^u$ avec $u$ dérivableAide
On a $f'(0)=-1$
Solution
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Infos abonnements - Montrer que $F$ définie par $F(x)=(-x-3)e^{-x}$
Aide
Il faut vérifier que $F'(x)=f(x)$
Solution
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