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Contenu
QCM sur les congruences
Équation dans NxN
Opérations sur les congruences
Recherche des restes possibles d’une division euclidienne en utilisant les congruences
Ressources associées et exercices semblables
Trois exercices bilan sur les congruences (réf 1500)
exercice
On ne demande pas de justifier.
- $247$ et $302$ sont congrus
a) modulo 3~~~~~~~b) modulo 5~~~~~~c) modulo 7~~~~~~d)modulo 2
Rappel cours
Congruence de a-b
$a$ et $b$ sont deux entiers relatifs.
$a\equiv b$ $(n)\Longleftrightarrow a-b\equiv 0$ $(n)$
donc $a\equiv b$ $(n)$ si et seulement si $a-b$est divisible par $n$Solution
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Infos abonnements - $n$ est un entier naturel tel que $n\equiv 5$ $(7)$
a) $n\equiv 20$ $(7)$~~~~~~~b) $n\equiv -8$ $(7)$~~~~~~c) $n+2\equiv 0$ $(7)$~~~~~~d) $n\equiv 7$ $(5)$Solution
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Infos abonnements - $n$ est un entier naturel tel que $n\equiv 0$ $(9)$
a) $n\equiv 0$ $(18)$~~~~~~~b) $n+18$ divisible par $9$~~~~~~c) $n-1\equiv 0$ $(8)$~~~~~~d) $n+1\equiv -1$ $(9)$Aide
$n-0=9k$
Solution
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Infos abonnements - $n$ est un entier naturel tel que $n\equiv -1$ $(5)$
a) $n^{121}\equiv 1$ $(5)$~~~~~~~b) $n+2\equiv 2$ $(5)$~~~~~~c) $n+4\equiv 1$ $(5)$~~~~~~d) $n^2-1$ est divisible par $5$Rappel cours
Addition, multiplication et exposant
$n$ est un entier naturel superieur ou égal à 2 et $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre entiers relatifs tels que $a\equiv b$ $(n)$ et $c\equiv d$ $(n)$
- addition: $a+c\equiv c+d$ $(n)$
- multiplication $ac\equiv bd$ $(n)$
- exposant: $a^k \equiv b^k$ $(n)$Solution
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Infos abonnements - $n$ est un entier naturel tel que $n\equiv 1$ $(9)$ et $m$ est un entier naturel tel que $m\equiv 8$ $(9)$
a) $n+m$ est divisible par $18$~~~~~~~b) $3n+2m$ divisible par $9$~~~~~~c) $n^2+m\equiv 1$ $(9)$~~~~~~d) $n+m^2\equiv 2$ $(9)$Solution
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- Donner la liste des diviseurs de 26 dans $\mathbb{N}$
Solution
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Infos abonnements - Déterminer les entiers naturels $x$ et $y$ tels que $4x^2-y^2=26$ et $x\geq y$
Aide
$4x^2-y^2=(2x-y)(2x+y)$ et $x\geq y$ donc $2x-y \geq 0$
Solution
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Rappel cours
Addition, multiplication et exposant
$n$ est un entier naturel superieur ou égal à 2 et $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre entiers relatifs tels que $a\equiv b$ $(n)$ et $c\equiv d$ $(n)$
- addition: $a+c\equiv c+d$ $(n)$
- multiplication $ac\equiv bd$ $(n)$
- exposant: $a^k \equiv b^k$ $(n)$
Solution
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- Déterminer le plus petit entier naturel $a$ tel que $12\equiv a$ $(11)$
En déduire le reste de la division euclidienne de $12^{32}$ par $11$Aide
$12-a$ est divisible par $11$
Solution
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Infos abonnements - De même, déterminer le reste de la division euclidienne de $10^7+1$ par $11$
Solution
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- Quels sont les restes possibles dans la division euclidienne de $2^n$ par $7$ avec $n$ entier naturel.
Solution
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Infos abonnements - On pose $n=3q+r$ avec $q$ et $r$ quotient et reste de la division euclidienne de $n$ par $3$.
Montrer que $2^n\equiv 2^r$ $(7)$Rappel cours
Congruence de a-b
$a$ et $b$ sont deux entiers relatifs.
$a\equiv b$ $(n)\Longleftrightarrow a-b\equiv 0$ $(n)$
donc $a\equiv b$ $(n)$ si et seulement si $a-b$est divisible par $n$Aide
$2^{n}=2^{3q+r}=\left(2^3\right)^q\times 2^r$
Solution
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Infos abonnements - Déterminer le reste de la division euclidienne de $49$ par $3$.
En déduire que $2^{49}-2$ est divisible par $7$Solution
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Bonus
Montrer que pour tout entier naturel $n$, $3^{2n}-2^{n+3}$ est divisible par $7$
Solution
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