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Contenu
Lecture graphique du nombre dérivé
Convexité et signe de la dérivée seconde
Étude des variations d’une fonction avec exponentielle
Étude de la convexité et points d’inflexion
Équation réduite d’une tangente
Ressources associées et exercices semblables
On a aussi représenté sur le graphique les tangentes à la courbe $\mathcal{C}_f$ aux points $A$, $B$, $C$ , $E$ , $F$ et $G$ d'abscisses respectives $-6$, $-5$, $-3$, $0$, $1$ et $\dfrac{5}{3}$.
- Graphiquement, donner les valeurs de $f'(-6)$, $f'(-5)$, $f'(-3)$ et $f'(1)$.
Rappel cours
include La tangenteà la courbe de $f$ au point $A$ d'abscisse $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
Solution
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Infos abonnements - Déterminer le signe de $f'(-1)$
Solution
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Infos abonnements - Déterminer le signe de $f''(-6)$.
Rappel cours
Convexité et tangentes
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle I et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
$f$ est convexe sur I si la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de ses tangentes.
Dans le cas contraire, $\mathcal{C}_f$ en-dessous de ses tangentes), $f$ est concave.Solution
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Infos abonnements - Parmi les courbes ci-dessous, l'une d'elle est la représentation graphique de $f'$ et une autre celle de $f''$.
Identifier la courbe de $f'$ et celle de $f''$ en justifiant la réponse.Rappel cours
Signe de la dérivée seconde
Soit $f$ définie et dérivable sur un intervalle I de $\mathbb{R}$
si $f''(x)>0$ sur $I$ alors $f$ est convexe
si $f''(x)<0$ sur $I$ alors $f$ est concaveAide
Il faut déterminer le signe de $f'(x)$ pour identifier la courbe de $f'$
Il faut déterminer la convexité de $f$ et les points d'inflexion pour déterminer le signe de $f''(x)$Solution
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- Calculer $f'(x)$ et déterminer le sens de variation de $f$ (on ne demande pas les limites)
Rappel cours
Formules de dérivation (produit, quotient...)
Cas de la fonction $e^{u}$
La fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=e^{u(x)}$ avec $u$ fonction dérivable sur $I$ est dérivable sur $I$ et $f'(x)=u'(x)e^{u(x)}$Aide
On pose $u(x)=x^2+4x+5$ et $v(x)=e^{-x}$
Solution
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Infos abonnements - Montrer que $f''(x)=(x^2-1)e^{-x}$
Aide
On pose $u_1(x)=x^2+2x+1$ et $v_1(x)=-e^{-x}$
Solution
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Infos abonnements - En déduire la convexité de $f$ et préciser les éventuels points d'inflexion à la courbe $\mathcal{C}_f$.
Rappel cours
Signe de la dérivée seconde
Soit $f$ définie et dérivable sur un intervalle I de $\mathbb{R}$
si $f''(x)>0$ sur $I$ alors $f$ est convexe
si $f''(x)<0$ sur $I$ alors $f$ est concave
point d'inflexion et dérivée seconde
si $f"(x)$ s'annule et change de signe en $x=x_A$ alors la courbe admet un point d'inflexion au point $A$.
Solution
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Infos abonnements - Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ au point d'abscisse $0$
Rappel cours
Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}Solution
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Infos abonnements - Déterminer la position relative de $T$ et de $\mathcal{C}_f$ sur $[-1;1]$.
Rappel cours
Convexité et tangentes
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle I et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
$f$ est convexe sur I si la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de ses tangentes.
Dans le cas contraire, $\mathcal{C}_f$ en-dessous de ses tangentes), $f$ est concave.Solution
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