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Contenu
Équation d’une tangente
Convexité d’une fonction
Calcul de l’aire entre la courbe et sa tangente
Intégrale avec la fonction exponentielle
Ressources associées et exercices semblables
Devoir court calculs d’intégrales (réf 1226)
devoir
- Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1.
Rappel cours
Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}Aide
Calculer $f'(x)$ puis $f'(1)$ et $f(1)$
Solution
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Infos abonnements - Montrer que $f$ est convexe.
Rappel cours
Signe de la dérivée seconde
Soit $f$ définie et dérivable sur un intervalle I de $\mathbb{R}$
si $f''(x)>0$ sur $I$ alors $f$ est convexe
si $f''(x)<0$ sur $I$ alors $f$ est concaveAide
Il faut calculer puis étudier le signe de $f''(x)$
Solution
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Infos abonnements - On admet que $f(x)>0$ sur $[0;1]$.
On note $\mathcal{A}$ l'aire du domaine limité par $C_f$, la tangente T et les droites d'équations $x=0$ (axe des ordonnées) et $x=1$.
Après avoir colorié la zone correspondante sur le graphique ci-dessous, calculer $\mathcal{A}$
On donnera la valeur exacte en unités d'aire et la valeur arrondie aux centièmes en cm$^2$·
Rappel cours
Aire et intégrale
$f$ est une fonction continue et positive sur $[a;b]$ avec $a < b$.
$\int_a^b f(x)dx$ est l'aire, en unités d'aires, du domaine limité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.
Aide
Calculer l'aire $\mathcal{A}_1$ du domaine limité par $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$
Calculer l'aire $\mathcal{A}_2$ (trapèze) du domaine limité par $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$ et on peut calculer $\mathcal{A}_2$ en utilisant la fonction affine $g$ don la rprésentation graphique est T
$=\dfrac{(\text{petite base}+\text{grande base})\times \text{hauteur}}{2}$
Utiliser la convexité de $f$ pour calculer $\mathcal{A}$ en utilisant la position relative de $f$ et T.Solution
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