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Home Option maths expertes chapitre 3 PGCD, théorèmes de Bezout et de Gauss, nombres premiers séquence 5 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement

Devoirs nombres premiers (réf 1601)

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Décomposition en facteurs premiers

Calculs avec les décompositions en facteurs premiers

Nombre de diviseurs d’un entier

Ressources associées et exercices semblables

Devoir PGCD, Bezout et Gauss (réf 1599)
devoir

Devoir PGCD, Bezout et Gauss (ex ancien BAC ) (réf 1600)
devoir

Devoir d'entraînement | temps recommandé 20mn ou plus | Niveau 1 application directe du cours | exercices complémentaires et devoirs d’entraînement |
Exercice 1 (2 points)
Déterminer si les nombres suivants sont premiers en justifiant la réponse
$277~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~903$
Aide

Le test d'arrêt est $\sqrt{n}$

Solution

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Exercice 2 (6 points)
  1. Déterminer la décomposition en facteurs premiers de $2100$ et de $2250$
    Solution

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  2. Déterminer le nombre de diviseurs de $2100$
    Rappel cours

    Nombre de diviseurs
    Soit $n\geq 2$ dont la décomposition en facteur premiers est $n=p_1^{\alpha_1}\times p_2^{\alpha_2}\times ...\times p_k^{\alpha_k}$ avec $p_1$, $p_2$,...$p_k$ premiers
    alors le nombre de diviseurs de $n$ est $(\alpha1+1)(\alpha_2+1)....(\alpha_k+1)$}

    Solution

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  3. Déterminer $PGCD(2100;2250)$
    Aide

    On peut utiliser les décompositions en facteurs premiers

    Solution

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  4. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $n^2$ soit un multiple de $2100$.
    Aide

    Il faut muliplier par les facteurs premiers permettant d'obtenir un produit avec des exposants pairs

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  5. Écrire $\sqrt{2100}$ sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $b$ entier naturel le plus petit possible en détaillant les calculs effectués.
    Aide

    $\sqrt{a^{2k}}=a^k$ avec $a$ et $k$ entiers naturels

    Solution

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Exercice 3 (2 points)
Un entier naturel $n$ admet 7 diviseurs, montrer alors que $n=p^6$ avec $p$ premier.
Aide

Le nombre de diviseurs est donné par le produit des exposants+1 de la décomposition en facteurs premiers

Solution

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