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Contenu
Étude des variations et signe d’un polynôme de degré 3
Théorème ds valeurs intermédiaires
Limite d’une fonction rationnelle
Étude des variations avec une fonction auxiliaire
Asymptote oblique
Ressources associées et exercices semblables
Étude d’une fonction avec exponentielle (extrait BAC) (réf 1070)
exercice
Vidéo de l’exercice
On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)= 4x^3 - 3x -8$
- Etudier les variations de $g$.
Rappel cours
Dérivées usuelles
Aide
Il faut calculer $g~'(x)$ et étudier son signe
Solution
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Infos abonnements - Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique que l'on notera $\alpha$ puis en donner la valeur arrondie aux dixièmes.
Rappel cours
inlude213fclude
Aide
Il faut distinguer les intervalles $]-\infty;\dfrac{-1}{2}]$ et $[\dfrac{1}{2};+\infty[$
Pour arrondir $\alpha$ aux dixièmes, il faut déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,01$Solution
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Infos abonnements - En déduire le signe de $g$ sur $\mathbb{R}$.
Aide
$g$ est continue sur $]\dfrac{1}{2};+\infty[$ et $g(\alpha)=0$
On peut utiliser le tableau de variation sachant que la courbe coupe l'axe des abscisses en $\alpha$Solution
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La fonction $f$ est définie sur $]\dfrac{1}{2}; +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x^3+1}{4x^2-1}$
- Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
Aide
En $+\infty$ il faut factoriser $x^3$ au numérateur et $x^2$ au dénominateur.
En $\dfrac{1}{2}$, il faut chercher la limite du numérateur et du dénominateur.Solution
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Infos abonnements - Montrer que $f'(x)=\dfrac{xg(x)}{(4x^2-1)^2}$.
Rappel cours
Formules de dérivation (produit, quotient...)
Aide
On pose $u(x)=x^3+1$ et $v(x)=4x^2-1$
Solution
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Infos abonnements - En déduire le signe de $f'(x)$ et le tableau de variation de $f$.
Aide
Il faut utiliser le signe de $g(x)$.
Solution
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Partie C
La droite $(d)$ a pour équation réduite $y=\dfrac{x}{4}$.
- Déterminer $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)-\dfrac{x}{4}$.
Interpréter graphiquement ce résultatAide
Réduire au même dénominateur
On peut factoriser le terme de plus haut degré, ici $x$ au numérateur et $x^2$ au dénominateur.Solution
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Infos abonnements - Etudier le signe de $f(x)-\dfrac{x}{4}$.
Que peut-on en déduire graphiquement?Aide
On peut ainsi comparer $f(x)$ et $\dfrac{x}{4}$
Solution
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Infos abonnements - Compléter le tracé de $C_f$ en utilisant toutes les informations disponibles.
Aide
Il faut tracer les asymptotes d'équations $x=\dfrac{1}{2}$ et $y=\dfrac{x}{4}$ et placer le point $(\alpha;f(\alpha))$
Solution
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