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Contenu
Raisonnement par récurrence
Congruences et propriétés des congruences
PGCD et nombres premiers entre eux
Utiliser les propriétés du PGCD
Ressources associées et exercices semblables
Équation diophantienne (extrait ancien BAC S) (réf 1596)
exercice
par $u_{n+1} = 2u_n + 6$.
- Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a:
$u_n = 9 \times 2^n - 6$Rappel cours
Raisonnement par récurrence
On note $P_n$ une propriété définie pour tout entier naturel $n$.
Initialisation:
$P_0$ est vraie
Hérédité:
Si $P_n$ est vraie alors$P_{n+1}$ est vraie.
on a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.Aide
On peut démontrer cette égalité par récurrence
Solution
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Infos abonnements - Démontrer que, pour tout entier $n \geq 1$, $u_n$ est divisible par 6.
Aide
On peut écrire $2^n=2^{n-1}\times 2$
Solution
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Infos abonnements
Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on définit la suite d'entiers $\left(v_n\right)$ telle que $v_n = \dfrac{u_n}{6}$.
- On considère l'affirmation : "pour tout entier naturel $n$ non nul, $v_n$ est un nombre premier".
Indiquer si cette affirmation est vraie ou fausse en justifiant la réponse.Aide
Calculer $u_6$ pour trouver un contre exemple
Solution
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- Démontrer que, pour tout entier $n \geq 1$, $v_{n+1} - 2v_n = 1$.
Solution
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Infos abonnements - En déduire que, pour tout entier $n \geq 1$, $v_n$ et $v_{n+1}$ sont premiers entre eux.
Rappel cours
Théorème de Bezout
Les entiers relatifs $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement si il existe un couple d'entiers relatifs $(u;v)$ tel que $au+bv=1$Aide
Utiliser la combinaison linéaire de la question préc´dente
Solution
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Infos abonnements - En déduire, pour tout entier $n \geq 1$, le PGCD de $u_n$ et $u_{n+1}$.
Aide
Solution
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- Démontrer que, pour tout entier $n \geq 1$, $v_{n+1} - 2v_n = 1$.
-
- Vérifier que $2^4 \equiv 1$ ($5$).
Rappel cours
Congruence de a-b
$a$ et $b$ sont deux entiers relatifs.
$a\equiv b$ $(n)\Longleftrightarrow a-b\equiv 0$ $(n)$
donc $a\equiv b$ $(n)$ si et seulement si $a-b$est divisible par $n$Solution
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Infos abonnements - En déduire que si $n$ est de la forme $4k + 2$ avec $k$ entier naturel, alors $u_n$ est divisible par $5$.
Aide
On a donc $2^n=2^{4k+2}$ et $u_n=9\times 2^n-6$
Solution
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Infos abonnements - Le nombre $u_n$ est-il divisible par 5 pour les autres valeurs de l'entier naturel $n$ ?
Justifier.Solution
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- Vérifier que $2^4 \equiv 1$ ($5$).