Espérance et variance et utilisation des propriétés (réf 1341)

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Calcul de l’espérance et de la variance

Calcul de l’espérance et de la variance de kX (propriétés de l’espérance et de la variance)

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Vidéo de l’exercice

On lance un dé tétraédrique équilibré dont les 4 faces portent les montants en euros 10 ; 1 ; $-2$ et $-4$.
$ X $ est la variable aléatoire donnant le gain algébrique affiché.

Calculer $E(X)$ et interpréter ce résultat et calculer $V(X)$.

Rappel cours

Espérance-variance-écart type
L'espérance de la variable aléatoire $X$ (avec les notations précédentes) est:
$E(X)=x_1p_1+x_2p_2+......+x_np_n=\sum_{i=1}^n p_ix_i$
La variance d'une variable aléatoire $X$ est:
$V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+.....+p_n(x_n-E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_i(x_i-E(X))^2$
ou bien $V(X)=p_1x_1^2+p_2x_2^2+.....+p_nx_n^2-(E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_ix_i^2-(E(X))^2$
L'écart type est égal à la racine carrée de la variance: $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$

Solution

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On décide de doubler chacun des montants (par exemple 10 devient 20 ; $-4$ devient $-8$).
$Z$ est la variable aléatoire donnant le gain algébrique à ce deuxième jeu.
Donner la valeur de $E(Z)$

Rappel cours

Espérance de $kX$
Soit $k$ un réel, $E(kX)=kE(X)$

Solution

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Calculer $V(X)$ et en déduire $V(Z)$

Rappel cours

Variance de $X$
$V(X)=x_1^2p_1+x_2^2p_2+x_3^2p_3+...+x_n^2p_n-E^2(X)$
Variance de $kX$
Soit $k$ un réel, $V(kX)=k^2V(X)$

Solution

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