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Contenu
Exercice BAC maths spécialité 2023
Suite arithmético-géométrique
Étude des variations d’une suite
Raisonnement par récurrence
Étude d’une fonction composée avec ln
Théorème des valeurs intermédiaires
Suite définie avec un logarithme
Ressources associées et exercices semblables
Étude d’une fonction composée avec ln (type BAC) (réf 1125)
exercice
Suite définie avec la fonction ln (ex BAC) (réf 1127)
exercice
Devoir complet fin de chapitre trois ex BAC 2023 (réf 1131)
devoir
-
- Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$: $u_n = 2 \times 0,9^n - 3$.
Aide
Il faut montrer que si $u_n=2 \times 0,9^n - 3$ alors $u_{n++1}=2 \times 0,9^{n+1} - 3$
Solution
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INSCRIPTION - En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}$: $- 3 < u_n \leqslant - 1$.
Aide
$0 < leq 0,9^n \leq 1
Solution
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INSCRIPTION - Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante.
Rappel cours
Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)
Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
Étudier le signe de l'expression obtenue
Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.Aide
On peut étudier le signe de $u_{n+1}-u_n=0,9u_n-0,3-u_n=-0,1u_n-0,3$ et on utilise l'encadrement de $u_n$ pour déterminer le signe
Solution
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INSCRIPTION - Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge et préciser sa limite.
Rappel cours
Limite d'une suite majorée ou minorée
Si la suite $(u_n)$ est croissante et majorée alors elle est convergente.
Si la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée alors elle est convergente
Limite de $q^n$
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=0$ pour $-1< q < 1$
Si $q> 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=+\infty$Solution
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INSCRIPTION
- Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$: $u_n = 2 \times 0,9^n - 3$.
- On se propose d'étudier la fonction $g$ définie sur $]-3~;~-1]$ par $g(x) = ln (0,5 x + 1,5) - x$.
- Justifier toutes les informations données par le tableau de variations de la fonction $g$ (limites, variations, image de $-1$)
Rappel cours
Dérivée de ln(u)
$u$ est définie et dérivable sur $I$ avec $u(x) > 0$
$ln(u)$ est dérivable sur $I$ et $(ln(u))'=(lnou)'=\dfrac{u'}{u}$Aide
Il faut étudier le signe de la dérivée
Dans la fonction $g$ il y a la composée de $ln$ et $0,5x+1,5$ donc on cherche d'abord la limite en $-3^+$ de $0,5x+1,5$Solution
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INSCRIPTION - En déduire que l'équation $g(x) = 0$ a exactement une solution que l'on
notera $\alpha$ et dont on donnera un encadrement d'amplitude $10^{-3}$.
Rappel cours
Théorème des valeurs intermédiaires
$f$ est une fonction continue sur $[a;b]$ (avec $a
Cas où la fonction est monotone
Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et strictement monotone alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution.
$f$ strictement monotone signifie que $f$ est strictement croissante (ou strictement décroissante).Solution
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INSCRIPTION
- Justifier toutes les informations données par le tableau de variations de la fonction $g$ (limites, variations, image de $-1$)
- Dans la suite de l'exercice, on considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout $ \in \mathbb{N}$, par $v_n = \ln \left(0,5 u_n + 1,5\right)$.
- En utilisant la formule donnée à la question 1. a., démontrer que la suite $(v_n)$ est arithmétique de raison $ln (0,9)$.
Rappel cours
Forme explicite d'une suite arithmétique
Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0+nr$ et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p+(n-p)r$
Attention, si le premier terme de la suite est $u_1$ par exemple, on a alors $u_n=u_1+(n-1)r$
Propriétés algébriques du logarithme
Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, on a:
$ln(ab)=ln(a)+ln(b)$
$ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=ln(a)-ln(b)$
$ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=-ln(b)$
$ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}ln(a)$
pour tout entier naturel $n >0$ on a $ln\left(a^n\right)=nln(a)$Aide
Utiliser la forme explicite de $(u_n)$
Solution
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INSCRIPTION - Soit $n$ un entier naturel.
Démontrer que $u_n = v_n$ si et seulement si $g\left(u_n\right) = 0$.Solution
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INSCRIPTION - Démontrer qu'il n'existe aucun rang $k \in \mathbb{N}$ pour lequel $u_k = \alpha$.
En déduire qu'il n'existe aucun rang $k \in \\mathbb{N}$ pour lequel $v_k = u_k$.Aide
Résoudre l'équation d'inconnue $n$: $-2,889 < 2\times 0,9^n-3 < -2,888$
Solution
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INSCRIPTION
- En utilisant la formule donnée à la question 1. a., démontrer que la suite $(v_n)$ est arithmétique de raison $ln (0,9)$.