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Contenu
Suite de points sur un axe gradué
Suite arithmético-géométrique et suite auxiliaire géométrique
Ex BAC 2012
Ressources associées et exercices semblables
Suites liées (d’après BAC) (réf 0635)
exercice
Soit $\left(A_{n}\right)$ la suite de points de la droite $\mathcal{D}$ ainsi définie :
- $A_{0}$ est le point O ;
- $A_{1}$ est le point d'abscisse $1$ ;
- pour tout entier naturel $n$, le point $A_{n+2}$ est le milieu du segment $\left[A_{n}A_{n+1}\right]$.
-
- Placer sur un dessin la droite $\mathcal{D}$, les points $A_{0}$, $A_{1}$, $ A_{2}$, $A_{3}$, $ A_{4}$, $A_{5}$ et $A_{6}$.
On prendra 10 cm comme unité graphique.Aide
$A_2$ est le milieu de $[A_0A_1]$....
Solution
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Infos abonnements - Pour tout entier naturel $n$, on note $a_{n}$ l'abscisse du point $A_{n}$.
Calculer $a_{2}$, $a_{3}$, $a_{4}$, $a_{5}$ et $a_{6}$.Aide
rappel: l'abscisse du milieu $I$ de $[AB]$ est $x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}$
Solution
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Infos abonnements - Pour tout entier naturel $n$, justifier l'égalité : $a_{n+2} = \dfrac{a_{n} + a_{n+1}}{2}$.
Aide
$A_{n+2}$ est le milieu de de $A_{n+1}$ d'abscisse $a_{n+1}$ et de $A_{n}$ d'abscisse $a_n$
Solution
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- Placer sur un dessin la droite $\mathcal{D}$, les points $A_{0}$, $A_{1}$, $ A_{2}$, $A_{3}$, $ A_{4}$, $A_{5}$ et $A_{6}$.
- Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = a_{n} - \dfrac{2}{3}$.
Démontrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $- \dfrac{1}{2}$.Rappel cours
Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$Aide
On peut exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $a_{n+1}$ puis de $a_n$ pour obtenir une relation de la forme $v_{n+1}=qv_n$
Solution
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Infos abonnements - En déduire l'expression de $v_n$ puis de $a_n$ en fonction de $n$.
Rappel cours
Forme explicite d'une suite géométrique
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0\times q^n$
et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$Aide
On a $(v_n)$ suite géométrique de raison $q=\dfrac{-1}{2}$ et premier terme $v_0$.
On a $v_n=u_n-\dfrac{2}{3}$Solution
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Infos abonnements - Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$, puis celle de la suite $\left(a_{n}\right)$.
Aide
en première S, les limites de fonctions n'étant plus au programme, on peut faire cette question de manière "intuitive".
On peut chercher la limite de $2^n$ puis de $\left(\dfrac{1}{2}\right)^n=\dfrac{1}{2^n}$ quand $n \longrightarrow +\infty$ ($n$ devient infiniment grand).
Chercher d'abord la limite de la suite $(v_n)$ et en déduire celle de la suite $(a_n)$.Solution
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