Partie A
Un artisan crée des bonbons au chocolat dont la forme rappelle le profil de la montagne locale représentée en Figure 1.
La base d'un tel bonbon est modélisée par la surface grisée, définie ci-dessous dans un repère orthonormé d'unité 1cm (Figure 2).

Cette surface est délimitée par l'axe des abscisses et la représentation graphique notée $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ définie sur $[-1~;~1]$ par
$f(x) = \left(1 - x^2\right)e^x.$
L'objectif de cette partie exercice est de calculer le volume de chocolat nécessaire à la fabrication d'un bonbon au chocolat.

1. 1. Justifier que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[-1~;~1]$ on a $f(x) \geq 0$.
      Solution

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   2. Montrer à l'aide d'une intégration par parties que : $ \displaystyle \int_{-1}^1 f(x) d x = 2\displaystyle \int_{-1}^1 xe^{x}~ d x. $
      Rappel cours

      Intégration par parties
      $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur $[1;b]$.
      $\displaystyle \int_a^b u'v=[uv]_a^b-\int_a^b uv'$

      Aide

      On pose $u(x)=1-x^2$ et $v'(x)=e^x$

      Solution

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2. Le volume $\mathcal{V}$ de chocolat, en cm$^3$, nécessaire à la fabrication d'un bonbon est donné par $\mathcal{V} = 3 \times S$ où $S$ est l'aire, en cm$^2$, de la surface colorée (Figure 2).
   En déduire que ce volume $\mathcal{V}$, arrondi à $0,1$~cm$^3$ près, est égal à $4,4$~cm$^3$.
   Aide

   Il faut caluler $S$ avec une seconde intégration par parties

   Solution

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