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Contenu
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Calculs de dérivées avec exp(x) et exp(kx)
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Devoir suites type BAC (réf 0967)
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- Calculer $u_1$ et $u_2$
Aide
Pour calculer $u_1$ il faut choisir $n=0$ dans la relation ci-dessus
Solution
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Infos abonnements - En utilisant la calculatrice, conjecturer le sens de variation de $(u_n)$.
Solution
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Infos abonnements - Démontrer par récurrence que pour tout ntier naturel $n$ on a $n\leq u_n\leq n+1$
Rappel cours
Raisonnement par récurrence
On considère une propriété notée $P_n$ avec $n \in \mathbb{N}$.
- $P_0$ vraie
- Si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ est vraie.
- On a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.
Aide
La propriété à démontrer est $n\leq u_n\leq n+1$
Vérifier que la propriété est vraie pour $u_0$ soit pour $n=0$(initialisation)
On suppose qu'il existe un entier natuel $k$ tel que $k\leq u_k\leq k+1$ et on veut montrer que $k+1\leq u_{k+1}\leq k+2$Solution
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Infos abonnements - Déterminer le sens de variation de $(u_n)$
Rappel cours
Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)
Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
Étudier le signe de l'expression obtenue
Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.Aide
On étudie le signe $u_{n+1}-u_n$ sachant que $n\leq u_n\leq n+1$
Solution
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Infos abonnements - Déterminer la limite de $(u_n)$.
Rappel cours
Théorème des gendarmes
Si pour tout entier $n\geq N$ avec $N\in \mathbb{N}$ on a $u_nSolution
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Infos abonnements - On désigne par $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=u_n-n$.
- Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{3}{4}$
Rappel cours
Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$Aide
Il faut montrer que $v_{n+1}=qv_n$, $q$ étant la raison de la suite $(v_n)$
On a $v_{n+1}=u_{n+1}-(n+1)$Solution
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Infos abonnements - En déduire que pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+n$
Rappel cours
Forme explicite d'une suite géométrique
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0\times q^n$
et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$Aide
Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et $u_n=v_n+n$
Solution
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Infos abonnements - Retrouver la limite de la suite $(u_n)$ en utilisant la forme explicite ci-dessus.
Rappel cours
Limite de $q^n$
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=0$ pour $-1< q < 1$
Si $q> 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=+\infty$Aide
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Solution
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- Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{3}{4}$
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_0=3$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ (on admet que cette suite est bien définie c'est à dire $u_n\neq 4$ pour tout entier $n$)
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Solution
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Rappel cours
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Solution
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Infos abonnements - Montrer par récurrence que pour tout enrier naturel $n$ on a $1\leq u_{n+1}\leq u_n\leq 3$
Rappel cours
Raisonnement par récurrence
On note $P_n$ une propriété définie pour tout entier naturel $n$.
Initialisation:
$P_0$ est vraie
Hérédité:
Si $P_n$ est vraie alors$P_{n+1}$ est vraie.
on a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.Aide
On utilise le sens de variation de $f$ pour obtenir $1\leq u_{n+2}\leq u_{n+1}\leq 3$ à partir de $1\leq u_{n+1}\leq u_n\leq 3$
Solution
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Rappel cours
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Solution
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Déterminer $\ell$Solution
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Aide
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Ecrire $\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$ sous le même dénominateur
Solution
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Solution
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Infos abonnements - Déterminer alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} S_n$
Solution
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