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Contenu
Graphe probabiliste
Matrice de transition et calcul d’états
État stable
Algorithme de Dijkstra
Ressources associées et exercices semblables
graphe et algorithme de dijkstra (réf 1677)
exercice
graphe probabiliste et algorithme de dijkstra (ex bac 2013) (réf 1681)
exercice
Une entreprise E commande chaque semaine ses fournitures auprès de deux fournisseurs A et H.
Les constats faits les premières semaines conduisent à modéliser l'évolution du choix du fournisseur pour les commandes d'une semaine à l'autre par un graphe probabiliste de sommets A et H où :
A désigne l'état : "La commande est passée auprès du fournisseur A ";
H désigne l'état : " La commande est passée auprès du fournisseur H ".
La matrice de transition $M$ de ce graphe, en considérant les sommets dans l'ordre A et H, est $M = \begin{pmatrix}0,95& 0,05\\0,1&0,9\end{pmatrix}$.
- Dessiner le graphe probabiliste associé à la matrice $M$.
Aide
$0,95$ est le coefficient de A vers H
Solution
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INSCRIPTION - Donner la signification du nombre $0,95$ dans la matrice $M$.
Solution
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INSCRIPTION
Pour tout entier naturel $n$, on note :
- Vérifier que la matrice ligne $P = \begin{pmatrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{pmatrix}$ correspond à l'état stable du système.
En donner une interprétation.Rappel cours
État stable ou chaîne de Markov stationnaire
On dit qu'une distribution $E$, représentée à l'aide d'une matrice ligne, est stationnaire pour une chaîne de Markov dont la matrice de transition est $M$ si $E=E\times M$.Aide
Il faut calculer $P\times M$
Solution
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INSCRIPTION - On donne $P_{0} = \begin{pmatrix}0,4 &0,6\end{pmatrix}$ et on rappelle que $P_{k} = P_{0} \times M^k$, pour $k$ entier naturel.
Déterminer la semaine où, pour la première fois, la probabilité que l'entreprise E commande ses fournitures auprès du fournisseur A dépasse la probabilité qu'elle les commande auprès du fournisseur H.Aide
On calcule successivement $P_1$, $P_2$...
Solution
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INSCRIPTION
$a_{n}$ la probabilité de l'évènement : "La semaine $n$, l'entreprise E commande ses fournitures auprès du fournisseur A " ;
$h_{n}$ la probabilité de l'évènement : "La semaine $n$, l'entreprise E commande ses fournitures auprès du fournisseur H" ;
$P_{n}$ la matrice $\begin{pmatrix}a_{n}& h_{n}\end{pmatrix}$ correspondant à l'état probabiliste pour la semaine $n$.