Le point $A(4;5;2)$ appartient-il à $P$?
Le point $B(0;11;-6)$ appartient-il à $P$?

Aide

Il faut déterminer si l'égalité définissant le plan $P$ est vérifiée par les coordonnées de $A$

Solution

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Donner les coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal au plan $P$.

Rappel cours

Vecteur normal à un plan-équation cartésienne d'un plan
Dans l'espace muni d'un repère othonormé, $P$ est un plan de l'espace, un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $P$ est un vecteur directeur d'une droite orthogonale à $P$.
Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $P$ passant par $A$ et $P$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$.
$ax+by+cz+d=0$ est une équation cartésienne de $P$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$

Solution

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Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
Que peut-on dire des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{n}$?
En déduire la position relative de $(AB)$ et $P$.

Rappel cours

Coordonnées d'un vecteur dans l'espace
L'espace est muni d'un repère quelconque.
Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{pmatrix} $ droite et plan orthogonaux
Une droite $(d)$ est orthogonale à un plan si et seulement si un vecteur directeur de $(d)$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs de du plan.

Aide

Les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires.

Solution

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