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Contenu
Droite avec un paramètre
Intersection droite parabole
Équation du second degré avec un paramètre
Ressources associées et exercices semblables
Intersection d’une droite et d’une hyperbole (réf 0502)
exercice
On considère le cas où la droite coupe $\mathcal{P}$ en deux points $A$ et $B$ et le point $C$ est le milieu de [AB].
Le but du problème est de déterminer l'ensemble décrit par le point C lorsque $m$ varie dans $\mathcal{R}$.
- Avec GEOGEBRA, en créant un curseur $m$ variant de $-5$ à $20$ et ayant comme pas $ 0,1$, afficher la trace du point $C$ lorsque $m$ varie.
Que peut-on conjecturer sur la valeur de $m$ pour avoir deux points d'intersection entre $d_m$ et $\mathcal{P}$?
Que peut-on conjecturer sur l'ensemble décrit par le point C?
Aide
Tracer la parabole $y=x^2$
Créer un curseur nommé $m$
Tracer $y=2x+m$
Marquer $A$ et $B$ points d'intersection de $C_f$ et $D_m$
Placer$C$ milieu de $[AB]$ et dans les options du point C activer la trace
Déplacer le curseur $m$Solution
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Infos abonnements - Démontrer que la droite $d_m$ coupe la parabole $\mathcal{P}$ en deux points A et B distincts si et seulement si $m>-1$.
Rappel cours
Racines
Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
c'est à dire telles que $P(x)=0$.
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.Aide
Les abscisses des points d'intersection A et B vérifient l'équation $x^2=2x+m$
Se ramener à une équation de degré 2 de la forme $ax^2+bx+c=0$
Pour que cette équation admette deux solutions, il faut $\Delta>0$, en déduire la valeur de $m$Solution
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Infos abonnements - Exprimer les abscisses des points $A$ et $B$ en fonction de $m$ et en déduire l'abscisse du point $C$ puis conclure.
Rappel cours
Coordonnées du milieu d'un segment
Dans un repère du plan, si on a $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ alors le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$Aide
Les abscisses des points d'intersection A et B sont les solutions de l'équation $x^2-2x-m=0$.
Le milieu C de [AB] a pour coordonnées $\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2} \right)$Solution
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