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Contenu
Encadrement de cos(x)
Limite avec le théorème des gendarmes
Ressources associées et exercices semblables
Limite d’une suite par comparaison (réf 0935)
exercice
Limite par comparaison (réf 0937)
exercice
Vidéo de l’exercice
- Montrer que pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a $-\dfrac{1}{n}\leq u_n\leq \dfrac{1}{n}$
Aide
Pour tout réel $x$ on a $-1 \leq cos(x)\leq 1$
Solution
$-1\leq cos(x)\leq 1$ pour tout réel $x$.
donc $-1\leq cos(n)\leq 1$
En multipliant les trois membres par $\dfrac{1}{n}>0$ (rappel $n\geq 1$), on a:
- En déduire la limite de la suite $(u_n)$
Rappel cours
Théorème des gendarmes
Soient trois suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$.
Si $\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=\ell$ et $\lim_{n\rightarrow+\infty}w_n=\ell$ et s'il existe un entier $p$ tel que, pour tout $n\geq p$, $u_n\leq v_n\leq w_n$, alors $\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=\ell$.Aide
Déterminer les limites $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{-1}{n}$ et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{n}$
Solution
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{n}=0$ et
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{-1}{n}=0$ et
et on a $-\dfrac{1}{n}\leq u_n\leq \dfrac{1}{n}$ pour tout $n\geq 1$