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Contenu
Suite arithmético-géométrique
Démontrer une forme explicite par récurrence
Déterminer la forme explicite avec une suite auxiliaire géométrique
Ressources associées et exercices semblables
Justifier une inégalité par récurrence (réf 0923)
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Justifier la forme explicite d’une suite avec un raisonnement par récurrence (réf 0924)
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Justifier une forme explicite par récurrence (réf 0929)
exercice
- Démonstration par récurrence
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=0,75u_n+25$ et $u_0=40$.
Montrer que $u_n=100-60\times 0,75^n$ pour tout entier naturel $n$Rappel cours
Raisonnement par récurrence
On considère une propriété notée $P_n$ avec $n \in \mathbb{N}$.
- $P_0$ vraie
- Si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ est vraie.
- On a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.Aide
On peut noter $P_n$ la propriété $u_n=100-60\times 0,75^n$
Solution
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On reprend la suite $(u_n)$ de la question 1- Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout $n\in\mathbb{N}$ par $v_n=u_n-100$.
Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,75$.Rappel cours
Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$Aide
On a $v_{n+1}=u_{n+1}-100=0,75u_n+25-100$...
Solution
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Infos abonnements - Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
Rappel cours
Forme explicite d'une suite géométrique
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0\times q^n$
et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$Solution
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Infos abonnements - En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
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