Infos

Vous devez être inscrit pour accéder à ces informations.

Ceci vous permet de visualiser les ressources déjà vues et marquer à revoir celles qui nécessitent d'être retravaillées.

Inscrivez vous gratuitement ici....

Contenu

Exercice guidé pas à pas:

Division euclidienne

Justifier ou déterminer une congruence

Montrer qu’un nombre est divisible par 11 avec les propriétés des congruences

Exercice | temps recommandé entre 5 et 10mn | Niveau 2 difficulté moyenne | séquence 2 du chapitre |
Le but de l'exercice est de démontrer que $35^{3264}-5$ est divisible par $11$.
  1. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de $35$ par $11$ et en déduire le plus petit entier naturel $a$ tel que $35\equiv a$ ($11$)
    Rappel cours

    Congruence de a-b
    $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs.
    $a\equiv b$ $(n)\Longleftrightarrow a-b\equiv 0$ $(n)$
    donc $a\equiv b$ $(n)$ si et seulement si $a-b$est divisible par $n$

    Solution

    Vous devez être abonné pour accéder à ce contenu...
    Infos abonnements

  2. Justifier que $2^5\equiv -1$ ($11$)
    Aide

    Calculer $2^5-(-1)$

    Solution

    Vous devez être abonné pour accéder à ce contenu...
    Infos abonnements

  3. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de $3264$ par $5$
    Aide

    Déterminer la partie entière de $\dfrac{3264}{5}$ puis calculer le reste

    Solution

    Vous devez être abonné pour accéder à ce contenu...
    Infos abonnements

  4. Justifier que $2^{3264}=\left(2^5\right)^{652}\times 16$ et en déduire que $2^{3264}\equiv 5$ ($11$)
    Aide

    On a 2^{3264}=2^{5\times 652+4}$ et $2^5\equiv -1$ ($11$)

    Solution

    Vous devez être abonné pour accéder à ce contenu...
    Infos abonnements

  5. En déduire que $35^{3264}-5$ est divisible par $11$.
    Rappel cours

    Propriété de la relation de congruence
    Pour tous entiers $a$, $b$ et $c$ on a:
    - $a\equiv a$ $(n)$
    - Si $a\equiv b$ $(n)$ alors $b\equiv a$ $(n)$
    - Si $a\equiv b$ $(n)$ et $b\equiv c$ $(n)$ alors $a\equiv c$ $(n)$

    Aide

    On a $35\equiv 2$ ($11$) et $35^{3264}-1$ est divisible par $11$.

    Solution

    Vous devez être abonné pour accéder à ce contenu...
    Infos abonnements


Vous devez être abonné pour accéder à ce contenu...

Infos abonnements

error: Ce contenu est protégé