Justifier que 35^3264 – 5 est divisible par 11 (réf 1495) chapitre 2 division euclidienne et congruences, Option maths expertes, séquence 2 congruences

Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de $35$ par $11$ et en déduire le plus petit entier naturel $a$ tel que $35\equiv a$ ($11$)

Rappel cours

Congruence de a-b
$a$ et $b$ sont deux entiers relatifs.
$a\equiv b$ $(n)\Longleftrightarrow a-b\equiv 0$ $(n)$
donc $a\equiv b$ $(n)$ si et seulement si $a-b$est divisible par $n$

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Justifier que $2^5\equiv -1$ ($11$)

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Calculer $2^5-(-1)$

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Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de $3264$ par $5$

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Déterminer la partie entière de $\dfrac{3264}{5}$ puis calculer le reste

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Justifier que $2^{3264}=\left(2^5\right)^{652}\times 16$ et en déduire que $2^{3264}\equiv 5$ ($11$)

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On a 2^{3264}=2^{5\times 652+4}$ et $2^5\equiv -1$ ($11$)

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En déduire que $35^{3264}-5$ est divisible par $11$.

Rappel cours

Propriété de la relation de congruence
Pour tous entiers $a$, $b$ et $c$ on a:
- $a\equiv a$ $(n)$
- Si $a\equiv b$ $(n)$ alors $b\equiv a$ $(n)$
- Si $a\equiv b$ $(n)$ et $b\equiv c$ $(n)$ alors $a\equiv c$ $(n)$

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On a $35\equiv 2$ ($11$) et $35^{3264}-1$ est divisible par $11$.

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