Utiliser les congruences pour justifier une divisibilité par 7 (réf 1496) chapitre 2 division euclidienne et congruences, Option maths expertes, séquence 2 congruences

Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de $23$ par $7$ et en déduire le plus petit entier naturel $a$ tel que $23\equiv a$ ($7$)

Rappel cours

Congruence de a-b
$a$ et $b$ sont deux entiers relatifs.
$a\equiv b$ $(n)\Longleftrightarrow a-b\equiv 0$ $(n)$
donc $a\equiv b$ $(n)$ si et seulement si $a-b$est divisible par $n$

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Justifier que $2^3\equiv 1$ ($7$)

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Calculer $2^3-1$

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Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de $251$ par $3$

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Déterminer la partie entière de $\dfrac{251}{3}$ puis calculer le reste

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Justifier que $2^{251}=\left(2^3\right)^{83}\times 4$ et en déduire que $2^{251}\equiv 2$ ($7$)

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On a 2^{251}=2^{3\times 83+2}$ et $2^3\equiv 1$ ($7$)

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En déduire que $23^{251}-4$ est divisible par $7$.

Rappel cours

Propriété de la relation de congruence
Pour tous entiers $a$, $b$ et $c$ on a:
- $a\equiv a$ $(n)$
- Si $a\equiv b$ $(n)$ alors $b\equiv a$ $(n)$
- Si $a\equiv b$ $(n)$ et $b\equiv c$ $(n)$ alors $a\equiv c$ $(n)$

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On a $23\equiv 2$ ($7$) et $23^{251}\equiv 2^{251}$ ($7$)

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