Arbre pondéré, probabilités conditionnelles et probabilités totales (réf 0895) Chapitre 8 probabilités conditionnelles et variables aléatoires, PREMIÈRE SPÉCIALITÉ MATHS, Séquence 2 Probabilités conditionnelles

A la sortie d'une chaîne de fabrication de pièces destinées à l'aérospatiale, on effectue un contrôle rigoureux pour qu'une pièce présentant un défaut ne soit pas livrée.
- $D$ l'évènement « la pièce présente un défaut »
- $A$ l'évènement « la pièce est acceptée au contrôle »
- $E$ l'évènement « le contrôle est défectueux » (la pièce a un défaut et est acceptée à l'issue du contrôle).
On note $p$ la probabilité qu'une pièce prise au hasard parmi les pièce fabriquées ne présente pas de défaut.
La probabilité qu'une pièce n'ayant pas de défaut soit refusée est de 0,01.
La probabilité qu'une pièce ayant un défaut soit acceptée est de 0,05.
\medskip Partie 1

Construire un arbre pondéré illustrant la situation.

Rappel cours

Arbre pondéré
Probabilités sur un arbre pondéré:

Solution

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Calculer en fonction de $p$ la probabilité de $E$.

Rappel cours

Probabilité conditionnelle
Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$.
La probabilité que l'événement $B$ soit réalisé sachant que l'événement $B$ est réalisé se note $p_A(B)$
et on a $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$.

Aide

$E$ est l'événement la pièce a un défaut et est acceptée donc se note $D\cap A$.

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Calculer, en fonction de p, la probabilité la pièce soit acceptée.

Rappel cours

Probabilités totales
Soient $A_1$, $A_2$,...$A_n$ des événements de l'univers $\Omega$ tels que $p(A_1)\neq 0$, $p(A_2)\neq 0$...$p(A_n)\neq 0$ et $B$ un événements.
Si $A_1$, $A_2$,...$A_n$ sont deux à deux disjoints et que leur réunion forme l'univers $\Omega$ alors $A_1$, $A_2$...$A_n$ forment une partition de $\Omega$
et on a $p(B)=p(A_1\cap B)+p(A_2\cap B)+...+p(A_n\cap B)$}
$A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers et on a $p(B)=p(A\cap B)+p(\overline{A}\cap B)$

Aide

On veut calculer $p(A)$ et il faut utiliser la formule des probabilités totales.

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On s'intéresse à la probabilité qu'une pièce acceptée soit réellement sans défaut (c'est à dire la probabilité que la pièce soit sans défaut sachant qu'elle a été acceptée au contrôle).
Montrer que cette probabilité, notée $f(p)$, est définie par $f(p) =\dfrac{99p}{94p + 5}$.

Aide

La probabilité que la pièce soit sans défaut sachant qu'elle a été acceptée au contrôle se note $p_A(\overline{D})$

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Déterminer alors la valeur minimale, arrondie aux centièmes, de p pour que plus de 99% des pièces acceptées n'aient pas de défaut.

Aide

On veut $f(p)> 0,99$

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