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Contenu
Probabilités avec un tableau à double entrée
Établir la loi de probabilité d’une variable aléatoire
Calcul de l’espérance
Ressources associées et exercices semblables
Espérance et prime d’assurance (réf 0888)
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Calcul des valeurs d’une variable aléatoire (réf 0889)
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Calcul de probabilités avec un arbre et espérance (réf 0891)
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Aie mémoire probabilités et variables aléatoires (réf 0903)
mémo
Parmi les appareils présentant un défaut, 70% sont réparables et sont alors vendus, les autres sont détruits et ne peuvent être vendus.
On note $V$ l'événement "l'appareil peut-être vendu" et $D$ l'événement "l'appareil présente un défaut lors du contrôle de qualité".
- Construire un tableau à double entrée illustrant les 4 situations possibles.
Aide
Le tableau à double entrée contiendra les événements $D$ et $\overline{D}$ d'une part (en ligne par exemple) et $V$ et $\overline{V}$ d'autre part (en colonne par exemple)
On complétera ensuite les effectifs correspondants en prenant par exemple un effectif total de 100 appareils ou bien directement les probabilités en prenant un effectif total de 1.Solution
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Infos abonnements - Le coût de fabrication d'un appareil est de 20 euros et le coût de réparation quand il y a un défaut est de 7 euros.
Chaque appareil est vendu 30 euros et toute la production est vendue(sauf les appareils détruits).
On note $X$ la variable aléatoire correspondant au bénéfice réalisé sur un appareil.
Dresser la loi de probabilité de $X$.Rappel cours
Variable aléatoire et loi de probabilité
Une variable aléatoire discrète est une fonction définie de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ qui a tout élément $x_i$ de $\Omega$ associe un nombre réel.
Définir la loi de probabilité d'une variable aléatoire prenant les valeurs $\left\lbrace x_1;x_2;x_3;......x_n\right\rbrace $, c'est déterminer la probabilité d'obtenir la valeur $X=x_i$ pour tout élément de $\left\lbrace x_1;x_2;x_3;......x_n\right\rbrace $Aide
Déterminer les valeurs possibles pour $X$ et les probabilités de chacun des événements correspondant à chacune de ces valeurs
Solution
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Infos abonnements - Déterminer alors le bénéfice moyen par appareil fabriqué de cette entreprise.
Rappel cours
Espérance-variance-écart type
L'espérance de la variable aléatoire $X$ (avec les notations précédentes) est:
$E(X)=x_1p_1+x_2p_2+......+x_np_n=\sum_{i=1}^n p_ix_i$
La variance d'une variable aléatoire $X$ est:
$V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+.....+p_n(x_n-E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_i(x_i-E(X))^2$
ou bien $V(X)=p_1x_1^2+p_2x_2^2+.....+p_nx_n^2-(E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_ix_i^2-(E(X))^2$
L'écart type est égal à la racine carrée de la variance: $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$Aide
Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$
Solution
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Infos abonnements - L'année suivante, le coût de fabrication d'un appareil a augmenté de 2 euros et le coût de réparation reste fixe et égal à 7 euros.
L'entreprise décide d'augmenter le prix de vente de ses appareils de 10%.
Quel est le pourcentage d'augmentation ou de baisse de son bénéfice moyen par appareil fabriqué.Rappel cours
Taux d'évolution
Le taux d'évolution d'une valeur initiale $V_i$ à une valeur finale $V_f$ est la variation relative de l'évolution par rapport à la valeur initiale soit: $t=\dfrac{V_f-V_i}{V_i}$. En calculant $t\times 100$ on obtient le pourcentage d'évolution.Aide
Reprendre le tableau de la question 2 en cherchant les valeurs de $X$ correspondant aux nouveaux coûts et prix de vente.
Calculer alors le bénéfice moyen par appareil fabriqué avec ces nouvelles données.Solution
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