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Contenu
Établir la loi de probabilité d’une variable aléatoire
Calcul de l’espérance
Détermination des valeurs de la variable aléatoire
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Aie mémoire probabilités et variables aléatoires (réf 0903)
mémo
Si la carte tirée est:
- un as, le joueur gagne 10 fois sa mise.
- un roi, le joueur gagne 5 fois sa mise.
- une dame ou un valet un valet, le joueur gagne 2 fois sa mise.
Dans les autres cas, le joueur récupère sa mise mais perd 10 euros.
On considère que chaque carte a la même probabilité d'être tirée et on nomme $G$ la variable aléatoire donnant bénéfice du joueur après le jeu (en tenant compte de la mise).
- Déterminer la loi de probabilité de $G$.
Rappel cours
Variable aléatoire et loi de probabilité
Une variable aléatoire discrète est une fonction définie de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ qui a tout élément $x_i$ de $\Omega$ associe un nombre réel.
Définir la loi de probabilité d'une variable aléatoire prenant les valeurs $\left\lbrace x_1;x_2;x_3;......x_n\right\rbrace $, c'est déterminer la probabilité d'obtenir la valeur $X=x_i$ pour tout élément de $\left\lbrace x_1;x_2;x_3;......x_n\right\rbrace $Aide
Identifier les différentes valeurs possibles de $G$ en tenant compte de la mise, par exemple, pour un as, le bénéfice du joueur sera de $10p-p$ euros....
Solution
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Infos abonnements - Calculer $E(G)$ en fonction de $p$.
Rappel cours
Espérance-variance-écart type
L'espérance de la variable aléatoire $X$ (avec les notations précédentes) est:
$E(X)=x_1p_1+x_2p_2+......+x_np_n=\sum_{i=1}^n p_ix_i$
La variance d'une variable aléatoire $X$ est:
$V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+.....+p_n(x_n-E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_i(x_i-E(X))^2$
ou bien $V(X)=p_1x_1^2+p_2x_2^2+.....+p_nx_n^2-(E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_ix_i^2-(E(X))^2$
L'écart type est égal à la racine carrée de la variance: $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$Solution
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Infos abonnements - En déduire la mise minimale que doit faire un joueur faisant un grand nombre de parties pour que le jeu lui soit favorable. (il ne perd pas d'argent après avoir joué ces parties)
Aide
Le bénéfice moyen du joueur sur un grand nombre de parties est $E(G)$ donc il faut résoudre $E(G)\geq 0$
Solution
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