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Calcul du produit scalaire avec les normes des vecteurs et l’angle
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Aide mémoire les différentes expressions du produit scalaire (réf 0805)
mémo
- $ABC$ est un triangle isocèle en A tel que $AB=5cm$ et $\widehat{BAC}=30^o$.
Calculer $ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{AC}$.Rappel cours
Produit scalaire (définition)
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs non nuls tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$, le produit scalaire des deux vecteurs est noté $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$,et est le nombre réel défini par:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid\times \mid \mid \overrightarrow{v}\mid \mid \times cos(\widehat{BAC})=AB\times AC\times cos(\widehat{BAC})$Aide
utiliser l'angle $\widehat{BAC}$
Solution
30$^o$ correspondent à $\dfrac{\pi}{6}$ radians et $cos(\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}=|| \overrightarrow{AB}||\times || \overrightarrow{AC}||\times cos( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$
$\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}}=AB \times AC\times cos( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$
$\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}}=5\times 5\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}}=\dfrac{25\sqrt{3}}{2}$
- $ABC$ est un triangle isocèle en A tel que $AB=5cm$ et $\widehat{BAC}=120^o$.
Calculer $ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{AC}$Rappel cours
Valeurs remarquables du cos et du sin
Aide
$\dfrac{2\pi}{3}=\pi-\dfrac{\pi}{3}$
Solution
120$^o$ correspondent à $\dfrac{2\pi}{3}$ radians ($2\times 180 \div 3=120$)
$\dfrac{2\pi}{3}=\pi-\dfrac{\pi}{3}$
et $cos(\dfrac{2\pi}{3})=-cos(\dfrac{\pi}{3})=-\dfrac{1}{2}$
$ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}=|| \overrightarrow{AB}||\times || \overrightarrow{AC}||\times cos( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$
$\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}}=AB \times AC\times cos( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$
$\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}}=5\times 5\times (-\dfrac{1}{2})$
$\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}}=-\dfrac{25}{2}$