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Contenu
Compléter un arbre de probabilités
Calculs de probabilités conditionnelles
Formule des probabilités totale
Ressources associées et exercices semblables
Probabilités conditionnelles et totales (réf 0867)
exercice
Vidéo de l’exercice
La production journalière de l'usine A est de $600$ pièces, celle de l'unité B est de $900$ pièces.
On prélève au hasard un composant de la production d'une journée.
La probabilité qu'un composant présente un défaut de soudure sachant qu'il est produit par l'unité A est égale à $0,014$.
La probabilité qu'un composant présente un défaut de soudure sachant qu'il est produit par l'unité B est égale à $0,024$.
On note :
- $D$ l'évènement : "le composant présente un défaut de soudure"
- $A$ l'évènement : "le composant est produit par l'unité A"
- $B$ l'évènement : "le composant est produit par l'unité B"
On note $p(D)$ la probabilité de l'évènement $D$ et $p_{A}(D)$ la probabilité de l'évènement $D$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé.
Partie A : généralités
-
- D'après les données de l'énoncé, préciser $p_{A}(D)$ et $p_{B}(D)$.
Rappel cours
Probabilité conditionnelle
Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$.
La probabilité que l'événement $B$ soit réalisé sachant que l'événement $B$ est réalisé se note $p_A(B)$
et on a $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$.Aide
a notation $p_A(D)$ signifie que la pièce est produite dans l'usine dans l'usine A et on cherche la probabilité que cette pièce présente un défaut de soudure.Solution
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Infos abonnements - Calculer $p(A)$ et $p(B)$.
Aide
Il faut déterminer le nombre de composaants fabriqués dans chaque usine par rapport au nombre total de composants produits.
Solution
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- D'après les données de l'énoncé, préciser $p_{A}(D)$ et $p_{B}(D)$.
- Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous :
Rappel cours
Arbre pondéré
Probabilités sur un arbre pondéré:
Aide
Sur le premier niveau de l'arbre, on a $p(A)$ et $P(B)$
Sur le deuxième niveau de l'arbre, on a les probabilités conditionnelles $p_A(D)$, $p_A(\overline{D})$....Solution
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- Calculer $p(A \cap D)$ et $p(B \cap D)$.
Rappel cours
Probabilité de l'événement $A\cap B$
Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$, on a
$p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)$Aide
$p(A \cap D)$ est la probabilité d'avoir $A$ et $D$, c'est à dire que la pièce provienne de A et présente un défaut.
Solution
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Infos abonnements - En déduire $p(D)$
Rappel cours
Probabilités totales
Soient $A_1$, $A_2$,...$A_n$ des événements de l'univers $\Omega$ tels que $p(A_1)\neq 0$, $p(A_2)\neq 0$...$p(A_n)\neq 0$ et $B$ un événements.
Si $A_1$, $A_2$,...$A_n$ sont deux à deux disjoints et que leur réunion forme l'univers $\Omega$ alors $A_1$, $A_2$...$A_n$ forment une partition de $\Omega$
et on a $p(B)=p(A_1\cap B)+p(A_2\cap B)+...+p(A_n\cap B)$}
$A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers et on a $p(B)=p(A\cap B)+p(\overline{A}\cap B)$Aide
Pour calculer $p(D)$, il faut utiliser sur l'arbre les parcours $A\capD$ et $B\cap D$
Solution
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- Calculer $p(A \cap D)$ et $p(B \cap D)$.
- On prélève dans la-production totale un composant présentant un défaut de soudure.
Quelle est la probabilité qu'il provienne de l'unité A ?Rappel cours
Probabilité conditionnelle
Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$.
La probabilité que l'événement $B$ soit réalisé sachant que l'événement $B$ est réalisé se note $p_A(B)$
et on a $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$.Aide
On prélève dans la-production totale un composant présentant un défaut de soudure donc on sait que la pièce a un défaut.
On peut utiliser $p(D)$ et $p_A(D)$ avec la formule des probabilités conditionnelles.Solution
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