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Contenu
Arbre de probabilités à trois branches
Calculs de probabilités avec un arbre
Ressources associées et exercices semblables
Calculs de probabilités avec un arbre (réf 0865)
exercice
Calculs de probabilités avec un arbre (réf 0866)
exercice
Le service contrôle la qualité des fèves de cacao livrées par les producteurs. Un des critères de qualité est le taux d'humidité qui doit être de 7%. On dit alors que la fève est conforme.
L'entreprise a trois fournisseurs différents :
le premier fournisseur procure la moitié du stock de fèves, le deuxième 30% et le dernier apporte 20% du stock.
Pour le premier, 98% de sa production respecte le taux d'humidité;
pour le deuxième, qui est un peu moins cher, 90% de sa production est conforme,
et le troisième fournit 20% de fèves non conformes.
On choisit au hasard une fève dans le stock reçu. On note $F_i$ l'évènement "la fève provient du fournisseur $i$", pour $i$ prenant les valeurs 1, 2 ou 3, et $C$ l'évènement "la fève est conforme".
- Déterminer la probabilité que la fève soit conforme.
Rappel cours
Arbre pondéré
Probabilités sur un arbre pondéré:
Probabilités totales
Soient $A_1$, $A_2$,...$A_n$ des événements de l'univers $\Omega$ tels que $p(A_1)\neq 0$, $p(A_2)\neq 0$...$p(A_n)\neq 0$ et $B$ un événements.
Si $A_1$, $A_2$,...$A_n$ sont deux à deux disjoints et que leur réunion forme l'univers $\Omega$ alors $A_1$, $A_2$...$A_n$ forment une partition de $\Omega$
et on a $p(B)=p(A_1\cap B)+p(A_2\cap B)+...+p(A_n\cap B)$}
$A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers et on a $p(B)=p(A\cap B)+p(\overline{A}\cap B)$Aide
On peut construire un arbre pondéré pour calculer $p(C)$.
Solution
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INSCRIPTION - Déterminer la probabilité que la fève provienne du fournisseur 1, sachant qu'elle est conforme. Le résultat sera arrondi à $10^{-2}$.
Rappel cours
Probabilité conditionnelle
Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$.
La probabilité que l'événement $B$ soit réalisé sachant que l'événement $B$ est réalisé se note $p_A(B)$
et on a $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$.Aide
On peut construire un arbre pondéré pour calculer d'abord $p(C)$ et on veut calculer $p_C(F_1)$
Solution
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INSCRIPTION - Le troisième fournisseur ayant la plus forte proportion de fèves non conformes.
L'entreprise décide de ne conserver que les fournisseurs 1 et 2. De plus, elle souhaite que 92% de fèves qu'elle achète soient conformes.
Quelle proportion $p$ de fèves doit-elle acheter au fournisseur 1 pour atteindre cet objectif ?Aide
On peut noter $p$ la proportion de fèves provenant du fournisseur 1.
Solution
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INSCRIPTION