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Home PREMIÈRE SPÉCIALITÉ MATHS Chapitre 1: second degré séquence 5 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement

Devoir complet fin de chapitre niveau 2 (réf 0515)

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Contenu

Déterminer f à partir de la parabole (forme canonique ou factorisée)

Inéquations du second degré

Équation de degré 3

Problème de bénéfice: étude d’une fonction polynôme de degré 2 et recherche du maximum

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Méthode inéquations commentées (réf 0519)
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Aide mémoire second degré (réf 0520)
mémo

Devoir d'entraînement | temps recommandé 20mn ou plus | Niveau 2 difficulté moyenne | exercices complémentaires et devoirs d’entraînement |
Exercice 1 (7 points)
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ dont on donne les représentations graphiques $C_f$ et $C_g$ dans le repère ci-dessous.
  1. Déterminer à l'aide du graphique les coordonnées du sommet $S$ de la parabole $C_f$.
    Solution

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  2. En déduire la forme canonique de $f$ en utilisant la question 1 et le point $A$ de la courbe $C_f$.
    Rappel cours

    Forme canonique
    Toute fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par $P (x) = ax^2 + bx + c$ peut s'écrire sous la forme $P (x) = a(x -\alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ et $\beta= P ( \alpha)$.
    Cette écriture de $P (x)$ est appelée forme canonique et $S(\alpha;\beta)$ est le sommet de la parabole représentant la fonction $P$

    Aide

    On a $f(x)=a(x-x_S)+y_S$ et $A(2;-4)$ donc $f(2)=-4$

    Solution

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  3. Déterminer graphiquement les solutions de l'équation $g(x)=0$
    Aide

    Graphiquement, les solutions de l'équation $g(x)=0$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe de de l'axe des abscisses.

    Solution

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  4. En déduire la forme factorisée de $g$ en utilisant la question 3 et le point $B$ de la courbe $C_g$.
    Rappel cours

    Forme factorisée
    - Si le polynôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$) admet deux racines $x_1$ et $x_2$
    alors la forme factorisée de $P$ est $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$
    - Si le polynôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$) admet une racine $x_1$
    alors la forme factorisée de $P$ est $P(x)=a(x-x_1)^2$
    - Si le polynôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$) n'admet aucune racine
    alors la forme factorisée de $P$ n'existe pas

    Aide

    On a $g(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ et $B(0;6)$ appartient à la courbe $C_g$ donc $g(0)=6$

    Solution

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  5. Donner la forme développée des fonctions $f$ et $g$.
    Rappel cours

    Identités remarquables
    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

    Solution

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  6. Résoudre l'équation $2x^2-4x-4=-x^2-5x+6$
    Comment peut-on contrôler les solutions obtenues sur le graphique?
    Rappel cours

    Racines
    Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
    c'est à dire telles que $P(x)=0$.
    $\Delta=b^2-4ac$
    Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
    Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
    Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
    Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses. include126fclud

    Aide

    Se ramener à une équation de la forme $ax^2+bx+c=0$ en "passant" tous les termes dans le membre de gauche

    Solution

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  7. En déduire, à l'aide du graphique, l'ensemble de solution de l'inéquation $f(x) < g(x)$.
    Aide

    Les solutions sont les abscisses des points de $C_f$ situés strictement en dessous de $C_g$

    Solution

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Exercice 2 (6 points)
Résoudre:
  1. $-2x^2+5x-3>0$
    Rappel cours

    Signe de $ax^2+bx+c$
    - Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$

    - Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)

    - Cas $\Delta<0$ (aucune racine)

    Aide

    Chercher les racines de $-2x^2+5x-3$.
    Dresser le tableau de signes de $-2x^2+5x-3$.
    Ecrire l'ensemble de solution.

    Solution

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  2. $\dfrac{2x^2-5x+2}{x-3}\geq 0$
    Aide

    Chercher avant tout la valeur interdite
    Déterminer les racines de $2x^2-5x+2$
    Construire un tableau de signes avec le numérateur $2x^2-5x+2$ et le dénominateur $x-3$
    ne pas oublier la double barre

    Solution

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Exercice 3 (3 points)
Soit $P$ le polynôme défini sur $\mathbb{R}$ par : $P(x)=2x^3-3x^2+3x-10$.
  1. Montrer que pour tout réel $x$, on a $P(x)=(x-2)(2x^2+x+5)$.
    Aide

    Développer l'expression $(x-2)(2x^2+x+5)$ et vérifier que cela est égal à $P(x)$

    Solution

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  2. En déduire les solutions de l'équation $P(x)=0$.
    Aide

    $P(x)=0 \Longleftrightarrow x-2=0$ ou bien $2x^2+x+5$

    Solution

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Exercice 4 (4 points)
Une entreprise produit entre 2 et 50 appareils électroménagers par heure. Le coût horaire de production de $x$ appareils, en euros, est donné par:$C(x)=x^2+50x+76$, pour $2\leqslant x\leqslant 50$.
Le prix de vente unitaire d'un appareil est de 90 euros.
On suppose que tout appareil produit est vendu.
  1. Exprimer en fonction de $x$ la recette totale.
    Aide

    La recette correspond à la somme obtenue en vendant $x$ appareils au prix unitaire de 90 euros.

    Solution

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  2. En déduire que le bénéfice horaire réalisé par la fabrication et vente de ces $x$ appareils est donné par la fonction $B$ définie par $B(x)=-x^2+40x-76$.
    Aide

    Le bénéfice correspond à la recette diminuée des coûts de production.

    Solution

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  3. Dresser le tableau de variation de la fonction $B$ et en déduire le nombre d'appareils à produire pour que le bénéfice horaire soit maximum.
    Rappel cours

    Signe de $ax^2+bx+c$
    - Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$

    - Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)

    - Cas $\Delta<0$ (aucune racine)

    Aide

    Chercher les coordonnées du sommet de la parabole représentatnt la fonction bénéfice.

    Solution

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  4. Dresser le tableau de signes de $-x^2+40x-76$.
    On donne les racines $x_1=2$ et $x_2=38$ de $-x^2+40x-76$.
    L'entreprise réalise-t-elle toujours des bénéfices? Justifier.
    Aide

    Dresser le tableau de signes de $-x^2+40x-76$.
    L'entreprise n'est pas en déficit si $B(x)\geq 0$

    Solution

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