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Contenu
Calcul du produit scalaire
Propriétés du produit scalaire
Carré scalaire
Produit scalaire nul et vecteurs orthogonaux
Ressources associées et exercices semblables
Devoir court sur les notions de base du produit scalaire (réf 0800)
devoir
Devoir produit scalaire: utiliser les différentes expressions (réf 0801)
devoir
Une réponse correcte rapporte 1 point, l'absence de réponse n'ajoute et n'enlève aucun point et une réponse fausse enlève 0,5 point.
Si le total des points de l'exercice est négatif, la note de l'exercice est ramenée à 0.
On ne demande aucune justification.
- Dans un repère orthonormé, on donne $\overrightarrow{u}(2;5)$ et $\overrightarrow{v}(-10;4)$.
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont
colinéaires$~~~~~~~~$orthogonaux$~~~~~~~~~~$ aucune réponse ne convientRappel cours
Produit scalaire dans un repère orthonormé
Dans un repère orthonormé, si $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{v}(x';y')$ on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'$
Solution
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Infos abonnements - ABC est un triangle isocèle en A tel que AB=8, l'unité étant le cm, $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=$
$64~~~~~~~~à-32~~~~~~32~~~~~~~~$ aucune réponse ne convientSolution
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Infos abonnements - ABCD est un rectangle tel que $AB=6$ et $AD=4$, l'unité étant le cm, $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}=$
$36~~~~~~~~-36~~~~~~~~-24~~~~~~~~$ aucune réponse ne convientRappel cours
Produit scalaire et projeté orthogonal
Soit $A$, $B$ et $C$ trois points ($A$ et $B$ distincts) et $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$.
Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=0$ (soit $\widehat{BAC}$ aigu)
et $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=\pi$ (soit $\widehat{BAC}$ obtus)Aide
On peut écrire $-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}$
On peut utilser le projeté orthogonal de $C$ sur $AB$.Solution
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Infos abonnements - $A$ et $B$ sont deux points du plan tels que $AB=1$.
L'ensemble des points M du plan vérifiant $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}$ est
la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par B
la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par A
la médiatrice de $[AB]~~~~~~$
aucune des réponse ne convient
Aide
On peut utiliser le projeté orthogonal de $M$ sur $(AB)$
ou bien utiliser un repère orthonormé dont $\overrightarrow{AB}$ est le vecteur unitaire sur l'axe des abscisses.Solution
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Calculer $(2\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).(\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v})$
Rappel cours
Propriétés du produit scalaire
Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs et $k$ un réel:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$
$(k \overrightarrow{u}).\overrightarrow{v}=k(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})$
$(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w}$
Orthogonalité
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls, on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.
Aide
Développer l'expression et utiliser l'orthogonalité des deux vecteurs
Solution
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- Déterminer l'ensemble $\mathcal{D}$ des points $M$ du plan tels que : $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=-12$ puis représenter cet ensemble.
Rappel cours
Produit scalaire et projeté orthogonal
Soit $A$, $B$ et $C$ trois points ($A$ et $B$ distincts) et $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$.
Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=0$ (soit $\widehat{BAC}$ aigu)
et $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=\pi$ (soit $\widehat{BAC}$ obtus)Aide
Il faut déterminer la position de $H$ projeté orthogonal de $M$ sur $(AB)$.
Solution
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Infos abonnements - On note $I$ le milieu de $[AB]$.
En décomposant $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}$, montrer que $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=16 \Longleftrightarrow MI^2=25$
et en déduire l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=16$.
Rappel cours
Propriétés du produit scalaire
Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs et $k$ un réel:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$
$(k \overrightarrow{u}).\overrightarrow{v}=k(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})$
$(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w}$Aide
On peut développer $(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})$ et on a $\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{0}$
Solution
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On considère un rectangle $ABCD$ tel que $AB=2AD=12$ cm et les points $I$ et $J$ milieux respectifs de $[BC]$ et $[CD]$.
Déterminer la mesure de l'angle entre les droites $(AI)$ et $(AJ)$.
Aide
La méthode la plus simple est d'utiliser un repère orthonormé.
Solution
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