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Contenu
Calcul du produit scalaire
Propriétés du produit scalaire
Carré scalaire
Produit scalaire nul et vecteurs orthogonaux
Ressources associées et exercices semblables
Devoir produit scalaire: utiliser les différentes expressions (réf 0801)
devoir
Devoir fin de chapitre produit scalaire (réf 0802)
devoir
Aide mémoire complet produit scalaire et vecteurs (réf 0806)
mémo
- Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$
Rappel cours
Coordonnées d'un vecteur défini par deux points
Si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ alors $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix }x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}$ (coordonnées du second point $-$ coordonnées du premier point)
Produit scalaire dans un repère orthonormé
Dans un repère orthonormé, si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'$
Solution
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Infos abonnements - Calculer les longueurs $AB$ et $AC$
Rappel cours
Distance dans un repère
Dans un repère orthonormé du plan, on a $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$,
$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
Si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ alors $||\overrightarrow{u}||=\sqrt{x^2+y^2}$Solution
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Infos abonnements - Déduire des questions précédentes une valeur approchée arrondie au degré de l'angle $\widehat{BAC}$
Aide
On a $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AC cos(\widehat{BAC})$
Solution
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Calculer la longueur du côté $[AC]$.
Rappel cours
Produit scalaire avec les normes
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$ on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\dfrac{\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid^2+\mid \mid \overrightarrow{v}\mid \mid^2-\mid \mid \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\mid \mid^2}{2}$
Dans le triangle $ABC$: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}$
Aide
Exprimer $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$ avec les longueurs des trois côtés du triangle puis en utilisant l'angle $\widehat{ABC}$
Solution
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- Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=-64$
Rappel cours
Produit scalaire et projeté orthogonal
Soit $A$, $B$ et $C$ trois points ($A$ et $B$ distincts) et $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$.
Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=0$ (soit $\widehat{BAC}$ aigu)
et $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=\pi$ (soit $\widehat{BAC}$ obtus)Aide
Il faut déterminer la position de $H$ sur $(AB)$, $H$ étant le projeté orthogonal de $M$ sur $(AB)$
Solution
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Infos abonnements - Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=4$.
Rappel cours
Théorème de la médiane
Soit $A$ et $B$ deux points distincts du plan.
Pour tout point $M$ du plan, on a $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=MI^2-\dfrac{AB^2}{4}$Aide
On pose $I$ milieu de $[AB]$ puis on utilise le théorème de la médiane
Solution
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Infos abonnements - On note $\mathcal{E}$ l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=k$ avec $k$ constante réelle
Déterminer les valeurs de $k$ pour lesquelles l'ensemble $\mathcal{E}$ n'est pas vide.Aide
On a $MI^2$ positif donc pour que $M$ existe il faut $MI^2=Constante$ avec une constante positive
Solution
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Calculer la longueur de la diagonale $[BD]$
Rappel cours
Produit scalaire avec les normes
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$ on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\dfrac{\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid^2+\mid \mid \overrightarrow{v}\mid \mid^2-\mid \mid \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\mid \mid^2}{2}$
Dans le triangle $ABC$: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}$
Aide
$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$
Calculer $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$ avec les normes des vecteurs
Solution
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Soient $ABCD$ et $BEFG$ deux carrés disposés comme sur la figure ci-dessus.
A l'aide d'un produit scalaire, montrer que les droites $(AG)$ et $(EC)$ sont perpendiculaires.
Aide
On peut décomposer $\overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{EC} selon les côtés des carrés
On peut aussi utiliser le repère orthonormé $(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD})$ en posant $x$ la longueur du côté $[BE]$
Solution
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