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Contenu

Probabilités avec un tableau à double entrée

Probabilités avec un arbre

Probabilités conditionnelles et totales

Loi de probabilités et espérance

Devoir d'entraînement | temps recommandé 20mn ou plus | Niveau 2 difficulté moyenne | exercices complémentaires et devoirs d’entraînement |
Exercice 1 (6 points)
Dans un pays X , les conseillers financiers sont classés en deux catégories: ceux qui sont bien informés et ceux qui ne le sont pas. Lorsqu'un conseiller financier bien informé recommande un titre, le cours de celui-ci monte dans 70% des cas.
Dans le cas d'un conseiller financier mal informé, le cours ne monte pas dans 60% des cas. On considère que 20% des conseillers financiers sont bien informés. Un client choisit au hasard un conseiller financier qui lui recommande une valeur.
On note :
- $I$ est l'événement : "le conseiller est bien informé"
- $C$ est l'événement : "le cours monte "
  1. Compléter le tableau suivant:
    Aide

    Compléter d'abord la dernière colonne du tableau avec la donnée "20% des conseillers financiers sont bien informés"

    Solution

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  2. Déterminer la probabilité de l'événement: "Le conseiller est bien informé et le cours monte".
    Aide

    L'événement: " Le conseiller est bien informé et le cours monte" se note $C\cap I$

    Solution

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  3. Que signifie $I \cap \overline{C}$?
    Calculer $p(I \cap \overline{C})$.
    Aide

    On veut que le conseiller soit bien informé et que le cours ne monte pas

    Solution

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  4. Sachant que le cours de la valeur est monté, quelle est la probabilité que le conseiller choisi soit mal informé.
    Aide

    Il faut déterminer le nombre de conseillers mal informés parmi les 46 cas où le cours est monté.

    Solution

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  5. Que signifie $ C \cup I$?
    Calculer la probabilité de cet événement.
    Solution

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Exercice 2 (14 points)
Un client désirant louer une voiture auprès de la société ALIZÉ doit formuler sa demande en précisant deux critères :
-la puissance du véhicule : il a le choix entre deux catégories A ou B ;
- l'équipement : voiture climatisée ou non climatisée.
Une étude statistique portant sur un grand nombre de clients a permis d'établir que 60% des clients louent une voiture de catégorie A et que, parmi eux, 20% désirent la climatisation. En revanche, 60% des clients préférant la catégorie B optent pour la climatisation.
On note les événements:
-A:"le véhicule loué est de catégorie A"
- C: " le véhicule loué est équipé de la climatisation"
Partie 1 (6 points)
  1. Traduire à laide d'un arbre pondéré la situation décrite ci-dessus.
    Rappel cours

    Arbre pondéré
    Probabilités sur un arbre pondéré:

    Solution

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  2. Dans cette question, on donnera des résultats numériques exacts. On choisit au hasard un client et on définit les événements suivants :
    "Le client a choisi une voiture de catégorie A climatisée" et "Le client a choisi une voiture climatisée".
    Déterminer la probabilité de ces événements.
    Rappel cours

    Probabilité de l'événement $A\cap B$
    Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$, on a
    $p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)$
    Probabilités totales
    Soient $A_1$, $A_2$,...$A_n$ des événements de l'univers $\Omega$ tels que $p(A_1)\neq 0$, $p(A_2)\neq 0$...$p(A_n)\neq 0$ et $B$ un événements.
    Si $A_1$, $A_2$,...$A_n$ sont deux à deux disjoints et que leur réunion forme l'univers $\Omega$ alors $A_1$, $A_2$...$A_n$ forment une partition de $\Omega$
    et on a $p(B)=p(A_1\cap B)+p(A_2\cap B)+...+p(A_n\cap B)$}
    $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers et on a $p(B)=p(A\cap B)+p(\overline{A}\cap B)$

    Aide

    Utiliser la formule des probabilités totales pour calculer $p(C)$

    Solution

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  3. Quelle est la probabilité pour que la voiture choisie soit de catégorie A, sachant qu'elle est climatisée ?
    Rappel cours

    Probabilité conditionnelle
    Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$.
    La probabilité que l'événement $B$ soit réalisé sachant que l'événement $B$ est réalisé se note $p_A(B)$
    et on a $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$.

    Aide

    Utiliser $p(A\cap C)=p(C)\times p_C(A)$

    Solution

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Partie 2
Le coût d'une journée de location d'une voiture de catégorie A est de 80 euros par jour et pour la catégorie B de 110 euros par jour.
Pour chacune de ces deux catégories, le supplément pour la climatisation est de 15 euros.
  1. Compléter le tableau ci-dessous correspondant aux différents coût possibles pour une journée de location en justifiant les valeurs obtenues pour les probabilités:
    Rappel cours

    Variable aléatoire et loi de probabilité
    Une variable aléatoire discrète est une fonction définie de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ qui a tout élément $x_i$ de $\Omega$ associe un nombre réel.
    Définir la loi de probabilité d'une variable aléatoire prenant les valeurs $\left\lbrace x_1;x_2;x_3;......x_n\right\rbrace $, c'est déterminer la probabilité d'obtenir la valeur $X=x_i$ pour tout élément de $\left\lbrace x_1;x_2;x_3;......x_n\right\rbrace $

    Aide

    Il faut identifier les quatre cas possibles sur l'arbre et associer le coût correspondant ainsi que la probabilité d'obtenir ce coût.

    Solution

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  2. Le loueur affirme dans sa publicité: "Chez ALIZE, la journée de location revient en moyenne à moins de 100 euros".
    Est-ce justifié compte tenu des données disponibles?
    Rappel cours

    Espérance-variance-écart type
    L'espérance de la variable aléatoire $X$ (avec les notations précédentes) est:
    $E(X)=x_1p_1+x_2p_2+......+x_np_n=\sum_{i=1}^n p_ix_i$
    La variance d'une variable aléatoire $X$ est:
    $V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+.....+p_n(x_n-E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_i(x_i-E(X))^2$
    ou bien $V(X)=p_1x_1^2+p_2x_2^2+.....+p_nx_n^2-(E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_ix_i^2-(E(X))^2$
    L'écart type est égal à la racine carrée de la variance: $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$

    Aide

    Il faut calculer l'espérance avec les données du tableau précédent.

    Solution

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