Devoir probabilités et variables aléatoires (réf 0898) Chapitre 8 probabilités conditionnelles et variables aléatoires, PREMIÈRE SPÉCIALITÉ MATHS, séquence 5 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement

On a effectué une étude sur les ventes dans un grand magasin vendant des lots de 4 chaises et des tables.
Chaque client achète au maximum un lot de 4 chaises et la table.
On notera les événements:
"T": le client a acheté une table.
"C": Le client a acheté un lot de 4 chaises.
On a ainsi obtenu les résultats suivants:
calculs de probabilités avec un tableau à double entrée

calculs de probabilités avec un tableau à double entrée

Que signifie la notation $T\cap \overline{C}$?

Rappel cours

Notations des événements et probabilités
$\Omega$ est l'événement certain et $p(\Omega)=1$
$\oslash$ est l'événement impossible et $p(\oslash)=0$
$\overline{A}$ est l'événement contraire de A et est composé de toutes les issues de $\Omega$ qui ne sont pas contenue dans A et $p(\overline{A})=1-p(A)$

Solution

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Calculer $p$.

Rappel cours

Intersection (A et B) et réunion (A ou B)
Soient A et B deux événements.
L'événement $A \cap B$ (lire A inter B) est l'ensemble des issues qui réalisent à la fois A et B.
Si $A \cap B =\oslash$, on dit que A et B sont incompatibles.
L'événement $A \cup B$ (lire A union B) est l'ensemble des issues qui réalisent A ou bien B, c'est à dire réalisant A ou bien réalisant B ou bien réalisant A et B.
$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$

Aide

La somme des probabilités du tableau doit être égale à 1.

Solution

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Que signifie la notation $C\cup T$?
Calculer $p(C\cup T)$.

Aide

On veut aussi calculer la probabilité que le client achète soit le lot de chaises, soit la table, soit le lot de chaises et la table.

Solution

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Le lot de 4 chaises est vendu 220 euros et la table 170 euros.
On note $X$ la variable aléatoire donnant la dépense d'un client entrant dans le magasin.
Compléter le tableau de la loi de probabilité de $X$.

Aide

Identifier les différentes valeurs prises par $X$ selon les achats des clients.

Solution

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La fréquentation du magasin est en moyenne de 140 clients par jour.
Calculer l'espérance de $X$ et en déduire la recette moyenne journalière du magasin.

Rappel cours

Espérance-variance-écart type
L'espérance de la variable aléatoire $X$ (avec les notations précédentes) est:
$E(X)=x_1p_1+x_2p_2+......+x_np_n=\sum_{i=1}^n p_ix_i$
La variance d'une variable aléatoire $X$ est:
$V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+.....+p_n(x_n-E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_i(x_i-E(X))^2$
ou bien $V(X)=p_1x_1^2+p_2x_2^2+.....+p_nx_n^2-(E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_ix_i^2-(E(X))^2$
L'écart type est égal à la racine carrée de la variance: $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$

Aide

Interpréter le résultat de l'espérance et en déduire la recette pour 140 clients.

Solution

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Le magasin est ouvert exceptionnellement un dimanche de décembre et la fréquentation augmente alors de 20% car le magasin a affiché une remise de 15% sur l'ensemble de ses articles.
Quelle recette peut espérer faire le magasin avec l'ouverture de ce dimanche?

Aide

Il faut calculer le nombre de clients de ce dimanche et la dépense moyenne par client.

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Exercice 2 (8 points)

D'après BAC ES Nouvelle-Calédonie 2009.
Un club de natation propose à ses adhérents trois s d'activité : la compétition, le loisir ou l'aquagym. Chaque adhérent ne peut pratiquer qu'une seule des trois activités.
30% des adhérents au club pratiquent la natation en loisir, 20% des adhérents au club pratiquent l'aquagym et le reste des adhérents pratiquent la natation en compétition.
Cette année, le club propose une journée de rencontre entre tous ses adhérents. 20% des adhérents de la la section loisir et un quart des adhérents de la section aquagym participent à cette rencontre. 30% des adhérents de la section compétition ne participent pas à cette rencontre.
On interroge au hasard une personne adhérente à ce club. On considère les évènements suivants :
- A: " La personne interrogée pratique l'aquagym"
- C: " La personne interrogée pratique la natation en compétition"
- L: " La personne interrogée pratique la natation en loisir "
- R: " La personne interrogée participe à la rencontre " et $\overline{\text{R}}$ son événement contraire.

Compléter le tableau à double entrée ci-dessous correspondant aux différentes situations possibles pour un total de 100 adhérents.

Aide

Compléter d'abord la dernière ligne (total) du tableau avec les données de l'énoncé.

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Calculer la probabilité que la personne interrogée pratique la natation en compétition et qu'elle participe à la rencontre.

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On veut calculer $p(C\cap R)$

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On interroge une personne au hasard lors de la rencontre. Calculer la probabilité qu'elle soit dans la section compétition.
Donner une valeur approchée du résultat arrondie à $10^{-2}$ près.

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On choisit une personne au hasard parmi les 46 participant à la rencontre.

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Les tarifs du club pour l'année sont les suivants : l'adhésion à la section compétition est de 100 euros et l'adhésion à la section loisir ou à l'aquagym est de 60 euros. De plus, une somme de 15 euros est demandée aux adhérents qui participent à la rencontre.
On appelle $S$ la somme annuelle payée par un adhérent de ce club (adhésion et participation éventuelle à la rencontre).
Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $S$.

Aide

Il faut calculer la dépense de l'adhérent dans chaque cas.

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Calculer l'espérance mathématique de $S$ et interpréter ce nombre.

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