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Dérivée de exp(kx)
Tableau de variation
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Ressources associées et exercices semblables
Étude d’une fonction avec exp(kx), courbe et tangente (réf 0674)
exercice
Partie A
Cet investissement se déprécie (perd de sa valeur). Sa dépréciation cumulée, en milliers d'euros, a l'instant $x$, mesuré en années, est notée $D(x)$. On pose $D(x)= 200\left(1 - e^{-0,086x}\right)$ pour tout réel $ x$ de l'intervalle I = [0 ; 13].
On donne ci-dessous la courbe représentative de $D$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal.
Déterminer graphiquement au cours de quelle année l'investissement aura perdu 60% de sa valeur (faire apparaître sur le graphique les tracés qui permettent d'obtenir la réponse).
Aide
60% de 200=$\dfrac{60\times 200}{100}=120$
Solution
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Partie B
Le transporteur veut revendre l'autocar. On note $V(x)$ la valeur de l'autocar l'année $x$, $ 0 \leqslant x \leqslant 13$.
- Vérifier que $V(x) = 200 \times e^{-0,086x}$.
Aide
La valeur de revente est la valeur initiale moins la perte de valeur
Solution
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Infos abonnements - Étudier le sens de variation de $V$ sur $[0 ; 13]$.
Rappel cours
Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$
La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$
La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$Aide
Il faut calculer $V'(x)$
$e^{-0,086x}>0$ pour tout réel $x$Solution
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Infos abonnements - Combien peut-on espérer revendre l'autocar au bout de $13$ ans de service ? (au millier d'euros près).
Aide
Il faut calculer $V(13)$
Solution
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Infos abonnements - Graphiquement, déterminer cours de quelle année l'autocar a-t-il perdu la moitié de sa valeur et contrôler avec la calculatrice ?
Aide
On veut que la valeur de revente soit inférieure ou égale à 100
Solution
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Infos abonnements Il faut résoudre graphiquement $V(x)=100$
donc l'équation $V(x)=100$ admet une solution unique $\alpha$ comprise dans l'intervalle $[8;9]$.
$V(8)= 200\times e^{-0,086\times 8}\approx 100,5$
$V(9)= 200\times e^{-0,086\times 9}\approx 92,2$
donc $V(8)>100$ et $V(9)<100$ [/pms-restrict]