Home PREMIÈRE SPÉCIALITÉ MATHS Chapitre 2 dérivation séquence 4 exemples d'études de variations

Étude des variations (fonction rationnelle) (réf 0556)

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Contenu

Dérivée d’un quotient

Signe de la dérivée et tableau de variation

Équation réduite et tracé d’une tangente

Tracé de la courbe de f

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Vidéo de l’exercice

La fonction $f$ est définie et dérivable sur $D_f=]1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2x^2-x-6}{x-1}$ et on note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Calculer $f'(x)$

Rappel cours

Formules de dérivation (produit, quotient...)

Aide

Il faut calculer $f'(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ (dérivée d'un quotient)

Solution

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Étudier les variations de $f$ puis dresser le tableau de variation de $f$

Rappel cours

Signe de la dérivée et variations d'une fonction
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$:
$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\geq 0$
$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\leq 0$ Signe de $ax^2+bx+c$
- Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$

- Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)

- Cas $\Delta<0$ (aucune racine)

Aide

Sur $D_f$, on a $(x-1)^2>0$ donc la dérivée est du même signe que son numérateur
Il faut étudier le signe du numérateur $2x^2-4x+7$
Le numérateur est un polynôme de degré 2.

Solution

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Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $C_f$ et de l'axe des abscisses.

Aide

Un point $M(x;y)$ appartient à l'axe des abscisses si $y=0$
Un point $M(x;y)$ appartient à la courbe $C_f$ si $y=f(x)$

Solution

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Donner une équation réduite de la tangente $T$ à $C_f$ au point d'abscisse 2.

Rappel cours

Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}

Aide

Calculer $f(2)$ puis $f'(2)$

Solution

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Tracer de la courbe $C_f$, la tangente $T$ dans le repère ci-dessous.

Aide

Placer dans cet ordre:
Le point $(2;0)$ et la tangente T en ce point.

es extremums s'il y en a puis suffisamment de points pour tracer la courbe $C_f$ (menu TABLE de la calculatrice)
Dans le menu TABLE de la calculatrice, saisir en Y1 la fonction $f$
Y1=(2x^2-x-6)/(x-1) puis Y2$=7x-14$
Ne pas oublier de paramétrer les valeurs du tableau (début, fin et pas))

Solution

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