Home PREMIÈRE SPÉCIALITÉ MATHS Chapitre 1: second degré séquence 2 discriminant et racines d'un polynôme de degré 2

Racines et forme factorisée d’un polynôme de degré 2 (réf 0465)

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Calcul du discriminant et des racines d’un polynôme de degré 2

Forme factorisée d’un polynôme de degré 2

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Vidéo de l’exercice

Déterminer si elles existent, les racines des polynômes de degré 2 ci-dessous et donner la forme factorisée si cela est possible:

$P(x)=-x^2-2x+3$

Rappel cours

Racines
Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
c'est à dire telles que $P(x)=0$.
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses. Forme factorisée
- Si le polynôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$) admet deux racines $x_1$ et $x_2$
alors la forme factorisée de $P$ est $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$
- Si le polynôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$) admet une racine $x_1$
alors la forme factorisée de $P$ est $P(x)=a(x-x_1)^2$
- Si le polynôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$) n'admet aucune racine
alors la forme factorisée de $P$ n'existe pas

Aide

Identifier les coefficients $a$, $b$ et $c$ dans $P(x)=ax^2+bx+c$
Calculer $\Delta$
Donner les racines si $\Delta>0$
Factoriser $P$ s'il y a une ou deux racines

Solution

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$P(x)=-16x^2-8x-1$

Aide

Identifier les coefficients $a$, $b$ et $c$ dans $P(x)=ax^2+bx+c$
Calculer $\Delta$
Donner les racines si $\Delta>0$ et l'unique racine (appelée racine double) si $\Delta=0$

Solution

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$P(x)=-2x^2+2x-5$

Solution

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